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《函数对称性和周期性的探究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、函数对称性和周期性的探究两数是小学数学教学的主线，是屮学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题Z中，而H利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学Z美。木文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称冇关的性质。一、函数自身的对称性探究定理1•函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a—x)=2b证明：(必要性)设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点,・・•点P(x,y)关于点A(a,b)的对
2、称点P(2a—x,2b—y)也在y=f(x)图像上,2b—y=f(2a—x)即y+f(2a-x)=2b故f(x)+f(2a~x)=2b,必要性得证。(充分性)设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)'：f(x)+f(2a—x)=2b・：f(xo)+f(2a—X。)=2b,即2b—yo=f(2a—x0)。故点P‘(2a—Xo,2b—y0)也在y=f(x)图像上，而点P与点P关于点A(a,b)对称，充分性得征。推论：函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(―x)=0定理2・函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+
3、x)=f(a—x)即f(x)=f(2a-x)(证明留给读者)推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(―x)定理3.①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(aHb),则y=f(x)是周期函数,且2
4、a-b
5、是其一个周期。②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(aHb),则y=f(x)是周期函数，且2
6、a-b
7、是其一个周期。③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称乂关于直线x=b成轴对称(aHb),则y=f(x)是周期函数，lL4
8、a-b
9、是其一个周期。①②的证明留给读者，以下给出③
10、的证明：*.*函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成屮心对称，/.f(x)+f(2a—x)=2c,用2b—x代x得：f(2b—x)+f[2a—(2b—x)]=2c(*)乂・・•函数y=f(x)图像直线x=b成轴对称，・•・f(2b-x)=f(x)代入(*)得:f(x)=2c—f[2(a—b)+x](**),用2(a—b)—x代x得f[2(a-b)+x]=2c-f[4(a-b)+x]代入(**)得：f(x)=f[4(a—b)+x],故y=f(x)是周期函数，且4
11、a—b
12、是其一个周期。二、不同函数对称性的探究定理4・函数y=f(x)与y=2b—f(2a—x)的图像关于点A(
13、a,b)成中心对称。定理5・①函数y=f(x)与y=f(2a—x)的图像关于直线x=a成轴对称。②两数y=f(x)与a—x=f(a—y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。③函数y=f(x)与x—a=f(y+a)的图像关于直线x—y=a成轴对称。定理4与定理5屮的①②证明留给读者，现证定理5屮的③设点P(x0,yo)是y=f(x)图像上任一点，则yo=f(x())。记点P(x,y)关于直线x—y=a的轴对称点为P(xi，力)，则Xi=a+%,y】=x0—a,x0=a+yi,y0=x】一a代入y0=f(x())之中得X]—a=f(a+yj・；点P(x“y】)在函数x—a=f(y+
14、a)的图像上。同理可证：函数x-a=f(y+a)的图像上任一点关于肓线x-y=a的轴对称点也在函数y=f(x)的图像上。故定理5中的③成立。推论：函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称。三、三角函数图像的对称性列表y歯si瓠对称Ut心坐标y=cosx(k7r+7r/2,0)X=k7ly=tanx(kjr/2,0)无注：①上表中kWZ②y=tanx的所有对称中心坐标应该是(k兀/2,0),而在岑申、王而冶主编的浙江教冇出版社出版的21世纪高屮数学精编第一册(卜J及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一•数学新教案(修订版)中都认^y=tanx的所有对称中
15、心坐标是(1,0),这明显是错的。I川、函数对称性应用举例例］:定义在R上的非常数函数满足:f(10+x)为偶函数,且f(5—x)=f(5+x),则f(x)一定是()(第十二届希望杯高二第二试题)(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数解：・・・f(10+x)为偶函数，・・・f(10+x)=f(10—x).・・・f(x)有两条対称轴x=5与x=10,因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，：.x=0即y轴也是f(x)的对称轴
