函数周期性及对称性

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1、函数的周期性与对称性函数周期性与对称性一、函数周期：对任意的，都有，则叫做函数的周期例如：求的周期二、对称性：函数关于原点对称即奇函数：函数关于对称即偶函数：函数关于直线对称：或或者函数关于点对称：1．f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A．2；B．3；C．4；D．5（）2．设函数为奇函数，则（）A．0B．1C．D．53．已知f(x)是R上的偶函数，对都有f(x＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=()A、2005B、2C、1D、04．设f（

2、x）是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在(0,3)内单调递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是（）(A)；(B)；(C)；(D)5．设函数与的定义域是,函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于A.B.C.D.6.已知定义在R上的函数f(x)的图象关于成中心对称，且满足f(x)=,f(0)=–2，则f(1)+f(2)+…+f(2010)的值为（）A．–2B．–1C．0D．17函数的周期性与对称性7.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是高考资源网A.0B.C.1D

3、.8.若是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，，则＝．9.定义域为R，且对任意都有，若则=_10．设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=。11：已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0

4、奇函数又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值.①证明：；②求的解析式；③求在[4,9]上的解析式.13．设是R上的偶函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．7函数的周期性与对称性14．设ｆ（ｘ）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称对任意ｘ１，ｘ２∈［０］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且f(1)=ａ＞０．(Ⅰ)求ｆ；(Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数；（Ⅲ）记＝ｆ（２ｎ＋），求．7函数的周期性与对称性参考答案7.解析：令，

5、则；令，则由得，所以，故选择A。8.－29.10.011.证明:(1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令00,1－x1x2>0，∴>0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0，∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,由

6、题意知f()<0，即　f(x2)

7、=1.（II）证明一：设0＜x1＜x2，由即f（x）在（0，+∞）上是增函数．证明二：由得当时，有此时所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．14.(Ⅰ)解：因为对ｘ１，ｘ２∈［０，］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（x２）,所以7函数的周期性与对称性ｆ（１）＝ａ＞0，∴(Ⅱ)证明：依题设ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝１对称，故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ），即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R又由ｆ（ｘ）是偶函数知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R，∴ｆ（－ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R，将上式中－ｘ以ｘ代换，得ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），ｘ∈Ｒ

8、这表明ｆ（ｘ）是R上的周期函数，且2是它的一个周期.（Ⅲ）解：由(Ⅰ)知ｆ（ｘ）≥０，ｘ∈［０，１］∵∴∵ｆ（ｘ）的一个周期是2∴ｆ（２ｎ＋）=ｆ（）,因此an=7