函数对称性周期性

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1、函数对称性周期性一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、周期性：对于函数y=/(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有/(x+T)=/(%)都成立，那么就把函数y二/(%)叫做周期函数，不为零的常数t叫做这个函数的周期。如果所冇的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。2、对称性定义(略)，请用图形来理解。3、对称性：偶函数关于y(即x二0)轴对称，偶函数有关系式f(~X)=f(X)奇函数关于(0,0)对称，奇函数有关系式/(X)+/(-X)=0探讨：(1)函数y二/(兀)关

2、于X-a对称of(a+x)=f(a-x)f{a--x)=f(6/-x)也可以写成/(x)=f(2a-x)或f{-x)=/(2a+x)若写成：/(a+x)=/(/?—兀)，函数y=/(兀)关于直线兀二一_a+b对称22(2)函数y=/(%)关于点(d,b)对称u>f(a+x)4-f(a-x)=2b上述关系也可以写成f(2。+*)+/(-兀)=2b或f(2a-x)+f(x)=2b周期性：(1)两数y=/O)满足如下关系系，则/(兀)的周期为2卩A./(%4-T)=-/(%)B、/(X+T)=1/(兀)或二—17w两个函数的图象对称性1、丿=

3、/(兀)与y=关于x轴对称。换种说法:y=f(x)与y=g(x)若满足f(x)=-g(x),即它们关于y=O对称。2、丿=/(兀)与y=%)关于丫轴对称。换种说法：y=/(X)与y=g(x)若满足/(x)=g(—兀)，即它们关于兀=0对称。3、v=/(无)与y=/(2°-兀)关于直线x=a对称。换种说法：y=f(x)与y=g(兀)若满足/(x)=g(2a一x),即它们关于x=a对称。函数的轴对称:定理1：如果函数y=/(x)满足/(a+x)=/(&-x),则函数y=/(x)的图象关于直线x=^-对2称.推论1：如果函数y=/(x)满足/(

4、«+x)=f(a-x),则函数y=/(x)的图象关于直线x=a对称.推论2：如果函数y=/(x)满足/(x)=/(-x),则函数y=/(x)的图象关于直线x=0(y轴)对称.4、函数的点对称:定理2：如果函数丿=/(工)满足/(«+x)4-f(a-x)=2b，则函数丿=/(兀)的图象关于点仏方)对称.推论3：如果函数y=/(x)满足/(«+x)+/(a-x)=0,则函数y=/(x)的图象关于点(a,0)对称.推论4：如果函数y=/(x)满足/(兀)+/(-兀)=0,则函数y=/(x)的图彖关于原点(0,0)对称.特别地，.三、试题1.已知

5、定义为R的函数/(工)满足/(-x)=-/(x+4),且函数/(兀)在区间(2,+8)上单调递增.如果X,<2

6、数D.在区间［-2,-1］［-2,-1］±是减函数，在区I'可［3,4］［十

7、］上是増函数分析：由f(x)=/(2-x)可知/(兀)图象关Tx=1对称,即推论1的应用.又因为/(x)为偶函数图象关于x=0对称，可得到/(x)为周期函数且最小正周期为2,结合/(兀)在区间［1,2］上是减函数，可得如右f(x)草图•故选B1+兀6:已知川戶口;九)04(-2)=(A).1A.一一71B.—7分析：由/(%)=,知I7l-3xc.二52針/WD.3厂兀_］、、3兀+1丿=兀，厶W=/(x)・=£(兀)=/*[/(%)]'…，九⑴=/[£(%)

8、]，则/⑴为迭代周期函数，故£“(兀)=/(尤)，厶加⑴二几兀)，九)()4(一2)=/(-2)=弓.选A・7：函数/(X)在R上有定义，且满足/(x)是偶函数，且/(0)=2005,g(x)=/(x-1)是奇函数，则/(2005)的值为.&设函数/(x)(xg/?)为奇函数，/(1)=*,/(兀+2)=/(兀)+/(2),则/(5)=(C)5A.0B.1C.—D.529.设f(x)是定义在/?上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递减，且y=f(x)的图象关丁•宜线x=3对称，则下面正确的结论是(B)(A)/(1.5)

9、5)