第八章第1讲知能训练轻松闯关

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1、1．(2015·秦皇岛模拟)直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　)A.　　　　　　　　　B.C.D.解析：选D.由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tanα＝－，又α∈[0，π)，所以α＝.2．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是(　　)A.x－y＋1＝0B.x－y－＝0C.x＋y－＝0D.x＋y＋＝0解析：选D.由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1，0)，所以方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.3．已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，当x＜0时，f(x)＞1，方程y＝ax＋表示的直线是(　　)解析：选C.∵x＜0时，ax＞1，∴0＜a

2、＜1.则直线y＝ax＋的斜率0＜a＜1，在y轴上的截距＞1.故选C.4．(2015·湖南长沙模拟)过点(1，3)作直线l，若经过点(a，0)和(0，b)，且a∈N*，b∈N*，则可作出的直线l的条数为(　　)A．1B．2C．3D．4解析：选B.由题意得＋＝1⇒(a－1)(b－3)＝3.又a∈N*，b∈N*，故有两个解或5．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)A．[－2，2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．[－2，0)∪(0，2]D．(－∞，＋∞)解析：选C.令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为

3、－b

4、＝b2，且

5、b≠0，b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．6．已知直线的倾斜角是60°，在y轴上的截距是5，则该直线的方程为________．解析：因为直线的倾斜角是60°，所以直线的斜率为k＝tan60°＝.又因为直线在y轴上的截距是5，由斜截式得直线的方程为y＝x＋5.答案：y＝x＋57．(2015·贵州贵阳模拟)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________．解析：设直线l的斜率为k，则方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－.令－3<1－<3，解得k<－1或k>.　答案：(－∞，－1)∪8．已知直线

6、l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，a＝________．解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝(a－)2＋，当a＝时，面积最小．答案：9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(－3，4)；(2)斜率为.解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4，

7、由已知，得(3k＋4)(＋3)＝±6，解得k1＝－或k2＝－.故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，由已知，得

8、－6b·b

9、＝6，∴b＝±1.∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.10．设直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0，根据下列条件分别确定m的值：(1)直线l的斜率为1；(2)直线l在x轴上的截距为－3.解：(1)因为直线l的斜率存在，所以m≠0，于是直线l的方程可化为y＝－x＋.由题意得－＝1，解得m＝－1.(2)法一：令y＝0，得x＝2m－6.由题意得2m－

10、6＝－3，解得m＝.法二：直线l的方程可化为x＝－my＋2m－6.由题意得2m－6＝－3，解得m＝.1．(2015·福建泉州模拟)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是(　　)A．2B．2C．4D．2解析：选C.法一：因为点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以4m＋3n－10＝0，欲求m2＋n2的最小值可先求的最小值．而表示4m＋3n－10＝0上的点(m，n)到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m＋3n－10＝0垂直时，原点到点(m，n)的距离的最小值为2.∴m2＋n2的最小值为4.法二：由题意知点(m，n)为直线上到原点最近的点，直线与两坐标轴

11、交于A(，0)，B(0，)，在Rt△OAB中，OA＝，OB＝，斜边AB＝＝，斜边上的高h即为所求m2＋n2的算术平方根，∴S△OAB＝·OA·OB＝AB·h，∴h＝＝＝2，∴m2＋n2的最小值为h2＝4.2．已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上有一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．解析：依题意得AB的方程为＋＝1.当x＞0，y＞0时，1＝＋≥2＝，即xy≤3(当且仅当x＝，y＝2时取等号)，故xy的最大值为3