第八章第4讲知能训练轻松闯关

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1、1．在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆与直线x－y－4＝0相切，则圆O的方程为(　　)A．x2＋y2＝4　　　　　　B．x2＋y2＝3C．x2＋y2＝2D．x2＋y2＝1解析：选A.依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x－y－4＝0的距离，即r＝＝2，得圆O的方程为x2＋y2＝4.2．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为(　　)A.B．1C.D.解析：选D.因为圆心(0，0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝＝，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半

2、就等于＝，所以弦长为.3．(2014·高考湖南卷)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)A．21B．19C．9D．－11解析：选C.圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.又圆C1：x2＋y2＝1，∴

3、C1C2

4、＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋，解得m＝9.4．(2015·湖南岳阳模拟)若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为(　　)A.，－4B．－，4C.，4D．－，－4解析：选A.因为直

5、线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，所以直线y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，且直线2x＋y＋b＝0过圆心，所以解得k＝，b＝－4.5．过点P(4，1)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　)A．3x－y－4＝0B．3x＋y－4＝0C．4x－y－4＝0D．4x＋y－4＝0解析：选B.如图所示，A点的坐标为(1，1)，∵AB⊥PC，kPC＝，∴kAB＝－3，∴直线AB的方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.6．

6、已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1，2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：因为点A(1，2)在圆x2＋y2＝5上，故过点A的圆的切线方程为x＋2y＝5，令x＝0，得y＝.令y＝0，得x＝5，故S△＝××5＝.答案：7．(2015·辽宁阜新模拟)过点(1，)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________．解析：∵(1－2)2＋()2＝3＜4，∴点(1，)在圆(x－2)2＋y2＝4的内部，当劣弧所对的圆心角

7、最小时，即直线l交圆的弦长最短，此时圆心(2，0)与点(1，)的连线垂直于直线l.∵＝－，∴所求直线l的斜率k＝.答案：8．(2015·山东济南模拟)设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足·＝0，则＝________．解析：∵·＝0，∴OM⊥CM，∴OM是圆的切线．设OM的方程为y＝kx，由＝，得k＝±，即＝±.答案：或－9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，

8、且

9、AB

10、＝2时，求直线l的方程．解：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0，4)，半径为2.(1)若直线l与圆C相切，则有＝2.解得a＝－.(2)过圆心C作CD⊥AB(图略)，则根据题意和圆的性质，得解得a＝－7或a＝－1.故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.10．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若

11、AB

12、＝，求

13、直线l的倾斜角．解：(1)证明：将已知直线l化为y－1＝m(x－1)．故直线l恒过定点P(1，1)．因为＝1<，故点P(1，1)在已知圆C内，从而直线l与圆C总有两个不同的交点．(2)圆半径r＝，圆心C到直线l的距离为d＝＝，由点到直线的距离公式得＝，解得m＝±，故直线的斜率为±，从而直线l的倾斜角为或.1．(2014·高考江西卷)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　)A.πB.πC．(6－2)πD.π解析：选A.∵∠

14、AOB＝90°，∴点O在圆C上．设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，∴点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，∴当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为

15、OD

16、.又

17、OD

18、＝＝，∴圆C的最小半径为，∴圆C面积的最小值为π＝π.2．圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为