第八章第4讲知能训练轻松闯关

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1、1．圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝x的位置关系是________．解析：因为圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径r＝1，所以圆心到直线y＝x的距离为＝＜1＝r.答案：相交2.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是________．解析：圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径为r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径r2＝2，故两圆的圆心距O1O2＝，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r1

2、方程为________．解析：圆x2－4x＋y2＋2＝0的圆心为(2,0)，半径为，易知过原点与该圆相切时，直线有斜率．设斜率为k，则直线方程为y＝kx，则＝，所以k2＝1，所以k＝±1，所以直线方程为y＝±x.答案：y＝±x4．圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0截直线5x－12y＋c＝0所得的弦长为8，则c的值为________．解析：因为弦长为8，圆的半径为5，所以弦心距为＝3，因为圆心坐标为(1，－2)，所以＝3，所以c＝10或c＝－68.答案：10或－685．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短的弦长为___

3、_____．解析：最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心距d＝＝，所以最短弦长为2＝2＝2.答案：26．与圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线共有________条．解析：由题意知，两圆圆心分别为(－2,2)与(2,5)，半径分别为1和4，圆心距为＝5，显然两圆外切，故公切线的条数为3.答案：37．已知直线l：y＝－(x－1)与圆O：x2＋y2＝1在第一象限内交于点M，且l与y轴交于点A，则△MOA的面积等于________．解析：依题意，直线l：y＝－(x－1)与y

4、轴的交点A的坐标为(0，)．由得，点M的横坐标xM＝，所以△MOA的面积为S＝OA×xM＝××＝.答案：8．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是________．解析：由y＝3－，得(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)．所以曲线y＝3－是半圆，如图中实线所示．当直线y＝x＋b与圆相切时，＝2.所以b＝1±2.由图可知b＝1－2.所以b的取值范围是.答案：[1－2，3]9．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且AB＝，则·的值为________．解析：在△OAB中，OA＝OB＝1，AB＝

5、，可得∠AOB＝120°，所以·＝1×1×cos120°＝－.答案：－10．已知点P是圆C：x2＋y2＋4x－6y－3＝0上的一点，直线l：3x－4y－5＝0.若点P到直线l的距离为2，则符合题意的点P有________个．解析：由题意知圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝42，所以圆心到直线l的距离d＝＝∈(4,6)，故满足题意的点P有2个．答案：211．已知圆C的圆心与点P(－2,1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且AB＝6，求圆C的方程．解：设点P关于直线y＝x＋1的对称点为C(m，n)，

6、则由⇒故圆心C到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝3，所以圆C的半径的平方r2＝d2＋＝18.故圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18.12．已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值．解：(1)圆心C(1,2)，半径为r＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由题意知＝2，解得k

7、＝.故方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.(2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝.1．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为________．解析：因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝＝，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于＝，所以弦长为.答案：2．已知直线x＋y－k＝0(k＞0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有

8、＋

9、≥

10、

11、，那么k的取值范围是________．解析：当

12、＋

13、＝

14、

15、时

16、，O，A，B三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA＝OB，∠AOB＝120°，从而圆心O到直线x＋y－k＝0(k＞0)的距离为1，此时k＝；当k＞时

17、＋

18、＞

19、

20、，又直