第八章第8讲知能训练轻松闯关

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1、1．若点P(x，y)到点F(0，2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则点P(x，y)的轨迹方程为(　　)A．y2＝8x　　　　　　　　B．y2＝－8xC．x2＝8yD．x2＝－8y解析：选C.点P(x，y)到点F(0，2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，说明点P(x，y)到点F(0，2)和到直线y＋2＝0的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线，设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，其中p＝4，故所求的轨迹方程为x2＝8y.2．方程(x2－y2－1)＝0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)(　　)解析：选B.原方程等价于或x－y－1＝0，前者表示等轴双曲线x2－y2＝1位于直线

2、x－y－1＝0下方的部分，后者为直线x－y－1＝0，这两部分合起来即为所求．3．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且

3、PA

4、＝1，则P点的轨迹方程为(　　)A．y2＝2xB．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2xD．(x－1)2＋y2＝2解析：选D.如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0)．连接MA，则MA⊥PA，且

5、MA

6、＝1，又∵

7、PA

8、＝1，∴

9、PM

10、＝＝，即

11、PM

12、2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.4．(2015·天津津南模拟)平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1

13、，则点C的轨迹是(　　)A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线解析：选A.设C(x，y)，因为＝λ1＋λ2，所以(x，y)＝λ1(3，1)＋λ2(－1，3)，即解得又λ1＋λ2＝1，所以＋＝1，即x＋2y＝5，所以点C的轨迹为直线，故选A.5．(2015·长春模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为(　　)A.－＝1.＋＝1C.－＝1.＋＝1解析：选D.∵M为AQ垂直平分线上一点，则

14、AM

15、＝

16、MQ

17、，∴

18、MC

19、＋

20、MA

21、＝

22、MC

23、＋

24、MQ

25、＝

26、CQ

27、＝5，故M的轨迹为椭圆．∴a＝，c

28、＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的方程为＋＝1.6．(2015·广东阳江质检)已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)，满足·＝x2－6，则动点P的轨迹是________．解析：∵动点P(x，y)满足·＝x2－6，∴(－2－x，－y)·(3－x，－y)＝x2－6，∴动点P的轨迹方程是y2＝x，即轨迹为抛物线．答案：抛物线7．直线＋＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是________．解析：直线＋＝1与x，y轴的交点为A(a，0)，B(0，2－a)，设AB的中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1.∵a≠0且a≠2，∴x≠0且x≠1.答案：x＋y＝1(x≠

29、0且x≠1)8．(2015·山西临汾调研)在△ABC中，

30、

31、＝4，△ABC的内切圆切BC于点D，且

32、

33、－

34、

35、＝2，则顶点A的轨迹方程为________．解析：以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E、F分别为两个切点．则

36、BE

37、＝

38、BD

39、，

40、CD

41、＝

42、CF

43、，

44、AE

45、＝

46、AF

47、.∴

48、AB

49、－

50、AC

51、＝2，∴点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝，c＝2，∴b＝，∴顶点A的轨迹方程为－＝1(x＞)．答案：－＝1(x＞)9．已知点A(－1，0)，B(2，4)，△ABC的面积为10，求动点C的轨迹方程．解：∵AB＝＝5，∴AB边上高h＝＝4.故C的轨迹是与

52、直线AB距离等于4的两条平行线．∵kAB＝，AB的方程为4x－3y＋4＝0，可设轨迹方程为4x－3y＋c＝0.由＝4，得c＝24或c＝－16，故动点C的轨迹方程为4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.10．如图，在平面直角坐标系中，已知△PAB的周长为8，且点A，B的坐标分别为(－1，0)，(1，0)．(1)试求顶点P的轨迹C1的方程；(2)若动点P1(x1，y1)在曲线C1上，试求动点Q(，)的轨迹C2的方程；(3)过点C(3，0)作直线l与曲线C2相交于M，N两点，试探究是否存在直线l，使得点N恰好是线段CM的中点．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由

53、题意可得顶点P满足

54、PA

55、＋

56、PB

57、＝6，故顶点P的轨迹C1是以A，B为焦点的椭圆，但要除去椭圆的左、右两个顶点．椭圆的半焦距长c＝1，长半轴长a＝3，所以b2＝a2－c2＝8，故轨迹C1的方程为＋＝1(x≠±3)．(2)由题意，点P1(x1，y1)在曲线C1上，故＋＝1(x1≠±3)．设＝x，＝y，则x1＝3x，y1＝2y.代入＋＝1(x1≠±3)，得x2＋y2＝1(x≠±1)，所以动点Q(，)的轨迹C2的方程为x2＋y2＝1(x≠±1)．(