第八章第6讲知能训练轻松闯关

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1、1．已知0＜θ＜，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的(　　)A．实轴长相等　　　　　　B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析：选D.由双曲线C1知：a2＝sin2θ，b2＝cos2θ⇒c2＝1，由双曲线C2知：a2＝cos2θ，b2＝sin2θ⇒c2＝1.2．(2015·福建宁德模拟)已知椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为(　　)A.B.C．4D.解析：选C.因为椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点(±，0)，则有a2－9＝7，∴a＝4.3．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C：x2－my2

2、＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)A.B．3C.mD．3m解析：选A.双曲线C的标准方程为－＝1(m>0)，其渐近线方程为y＝±x＝±x，即y＝±x，不妨选取右焦点F(，0)到其中一条渐近线x－y＝0的距离求解，得d＝＝.4．(2015·河南开封模拟)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足

3、PF2

4、＝

5、F1F2

6、，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)A.B.C.D.解析：选B.易知

7、PF2

8、＝

9、F1F2

10、＝2c，所以由双曲

11、线的定义知

12、PF1

13、＝2a＋2c，因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，所以(a＋c)2＋(2a)2＝(2c)2，即3c2－2ac－5a2＝0，两边同除以a2，得3e2－2e－5＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．5．(2015·兰州市、张掖市高三联考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，以

14、F1F2

15、为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选C.由题意知，圆的半径为5，又点(3，4)在经过第一、三象限的渐近线y＝x上，因此有，解

16、得，所以此双曲线的方程为－＝1.6．已知双曲线－＝1的右焦点的坐标为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：依题意知()2＝9＋a，所以a＝4，故双曲线方程为－＝1，则渐近线方程为±＝0.即2x±3y＝0.答案：2x＋3y＝0或2x－3y＝07．(2015·浙江六市六校联盟模拟)如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由题意得B(2，0)，C(2，3)，∴解得∴双曲线

17、的标准方程为x2－＝1.答案：x2－＝18．(2015·武汉模拟)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点．若＝8a，则双曲线的离心率e的取值范围是________．解析：设

18、PF2

19、＝y，则(y＋2a)2＝8ay⇒(y－2a)2＝0⇒y＝2a≥c－a⇒e＝≤3.答案：(1，3]9．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．解：切点为P(3，－1)的圆x2＋y2＝10的切线方程是3x－y＝10.∵双曲

20、线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，∴两渐近线方程为3x±y＝0.设所求双曲线方程为9x2－y2＝λ(λ≠0)．∵点P(3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80，∴所求的双曲线方程为－＝1.10．已知离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2.(1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A、B，在第二象限内取双曲线上一点P，连结BP交椭圆于点M，连结PA并延长交椭圆于点N，若＝，求四边形ANBM的面积．解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则根据题意知双曲

21、线的方程为－＝1且满足解方程组得∴椭圆的方程为＋＝1，双曲线的方程为－＝1.(2)由(1)得A(－5，0)，B(5，0)，

22、AB

23、＝10，设M(x0，y0)，则由＝，得M为BP的中点，所以P点坐标为(2x0－5，2y0)．将M、P坐标代入椭圆和双曲线方程，得消去y0，得2x－5x0－25＝0.解得x0＝－或x0＝5(舍去)．∴y0＝.由此可得M(－，)，∴P(－10，3)．则直线PA的方程是y＝－(x＋5)，代入＋＝1，得2x2＋15x＋25＝0.解得x＝－或x＝－5(舍去)，∴xN＝－，则xN＝xM，所以MN⊥x轴．∴S四边形ANBM＝2S

24、△AMB＝2××10×＝15.1．(2015·唐山市高三年级统考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦点为F1，F2，且C上点P满足·＝0，

25、

26、＝3，

27、

28、＝4