第八章第3讲知能训练轻松闯关

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1、1．经过点(1，0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为(　　)A．(x－1)2＋y2＝1　　　　B．(x－1)2＋(y－1)2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析：选B.由，得即所求圆的圆心坐标为(1，1)，又由该圆过点(1，0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.2．已知⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“F＝E＝0且D<0”是“⊙C与y轴相切于原点”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2、解析：选A.由题意可知，要求圆心坐标为，而D可以大于0.3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为(　　)A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5解析：选D.由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5.4．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　　)A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y

3、－1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1解析：选A.由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a，1)，又圆与直线4x－3y＝0相切，可得＝1，解得a＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.5．(2015·温州模拟)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为(　　)A．4B．3C．2D.解析：选C.圆C的方程可化为x2＋(y－1)2＝1，因为四边形PACB的最小面积是2

4、，且此时切线长为2，故圆心(0，1)到直线kx＋y＋4＝0的距离为，即＝，解得k＝±2，又k＞0，所以k＝2.6．如果直线l将圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝13平分，那么坐标原点O到直线l的最大距离为________．解析：由题意，知直线l过圆心C(2，－3)，当直线OC⊥l时，坐标原点到直线l的距离最大，

5、OC

6、＝＝.答案：7．已知A、B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且

7、AB

8、＝6，若以AB的长为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________________．解析：设圆心坐标为

9、M(x，y)，则(x－1)2＋(y＋1)2＝，即(x－1)2＋(y＋1)2＝9.答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝98．(2015·太原市模拟)已知点P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，点C是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心，那么

10、PC

11、的最小值是________．解析：点C到直线3x＋4y＋8＝0上的动点P的最小距离即为点C到直线3x＋4y＋8＝0的距离，而圆心C的坐标是(1，1)，因此最小距离为＝3.答案：39．在平面直角坐标系xOy中，求与x轴相交于A(1，0)和B(5，0)两点且半径为的圆的标准方程

12、．解：法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝5.因为点A，B在圆上，所以可得到方程组：解得所以圆的标准方程是(x－3)2＋(y－1)2＝5或(x－3)2＋(y＋1)2＝5.法二：由于A，B两点在圆上，那么线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识：这个圆的圆心在线段AB的垂直平分线x＝3上，于是可以设圆心为C(3，b)．又AC＝，得＝.解得b＝1或b＝－1.因此，所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5或(x－3)2＋(y＋1)2＝5.10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，

13、线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且

14、CD

15、＝4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1，2)．则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上，得a＋b－3＝0.①又∵直径

16、CD

17、＝4，∴

18、PA

19、＝2，∴(a＋1)2＋b2＝40.②由①②解得或∴圆心P(－3，6)或P(5，－2)．∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.1．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4a

20、y＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为(　　)A．(－∞，－2)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(2，＋∞)解析：选D.曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，其为圆心为(－a，2a)，半径为2的圆，要使圆C的所有的点均在第二象限内，则圆心(－a，2a)必须在第二象限，从而有a>0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C的半径，易