高中数学第一章三角函数1.8函数y＝asin（ωx＋φ）的图像与性质（二）学案北师大版

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1、§8　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(二)学习目标　1.掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、单调性及最值的求法(重、难点).2.理解函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性(难点)．知识点　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质定义域R值域[－A，A]周期T＝奇偶性φ＝kπ，k∈Z时，y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数；φ＝kπ＋，k∈Z时，y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数对称轴方程由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得单调性递增区间由2kπ－≤ωx＋

2、φ≤2kπ＋(k∈Z)求得；递减区间由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)求得【预习评价】(1)函数y＝2sin(2x＋)＋1的最大值是(　　)A．1B．2C．3D．4解析　当2x＋＝2kπ＋时，即x＝kπ＋(k∈Z)时最大值为3.答案　C(2)函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　)A．4πB．2πC．πD.解析　由题意T＝＝π，故选C.答案　C题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值问题12【例1】　求函数y＝sin，x∈的值域．解　∵0≤x≤，∴0≤2x≤π.∴≤2x＋≤.∴－≤sin≤1.

3、∴－1≤sin≤，即－1≤y≤.∴函数y＝sin，x∈的值域为[－1，]．规律方法　求函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[m，n]的值域的步骤：(1)换元，u＝ωx＋φ，并求u的取值范围；(2)作出y＝sinu(注意u的取值范围)的图像；(3)结合图像求出值域．【训练1】　求函数y＝2sin的最大值和最小值．解　∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤，∴0≤sin≤1.∴当sin＝1时，ymax＝2；当sin＝0时，ymin＝0.方向1　求函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期【例2－1】　求下列函数的周期：(1)y＝s

4、in(x∈R)；(2)y＝sin(x∈R)．解　(1)T＝＝π.12(2)T＝＝4.方向2　函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性与对称性【例2－2】　(1)函数y＝sin的图像的对称轴方程为________，对称中心为________．(2)若函数f(x)＝2sin是偶函数，则φ的值可以是(　　)A.B.C.D．－解析　(1)令y＝±1，即sin＝±1，则2x＋＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)，即对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．令y＝0，即sin＝0，则2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝－(k∈Z)，∴函

5、数y＝sin的图像的对称中心为(k∈Z)．(2)由f(x)＝2sin为偶函数得φ－＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋.∴当k＝0时φ＝.故选A.答案　(1)x＝＋(k∈Z)　(k∈Z)(2)A方向3　函数y＝Asin(ωx＋φ)单调性【例2－3】　求函数y＝2sin的递增区间．解　∵y＝2sin＝－2sin，∴函数y＝2sin的递增区间就是函数u＝2sin的递减区间．∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，12得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，∴函数y＝2sin的递增区间为：(k∈Z)．规律方法　1.关于函

6、数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性与奇偶性(1)将ωx＋φ看作整体，代入到y＝sinx的对称中心、对称轴的表达式可以求出函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心、对称轴或求φ值．(2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝π＋kπ，k∈Z，若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ，k∈Z，函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性实质是函数的对称中心、对称轴的特殊情况．2．求解函数y＝Asin(ωx＋φ)单调区间的四个步骤(1)将ω化为正值．(2)根据A的符号确定应代入y＝sinθ的单调增区间

7、，还是单调减区间．(3)将ωx＋φ看作一个整体，代入到上述的单调区间中解出x的范围即为函数在R上的单调区间．(4)如果要求函数在给定区间上的单调区间，则给k赋值求单调区间．题型三　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用【例3】　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．解　由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图像关于y轴对称，∴f(x)在x＝0时取得最值．即sinφ＝±1.依题设0≤φ≤π，

8、∴解得φ＝.由f(x)的图像关于点M对称，可知sin＝0，解得ω＝－，k∈Z.又∵f(x)在[0，]上是单调函数，∴T≥π，即≥π，∴ω≤2.又∵ω＞0，∴当k＝1时，ω＝；12当k＝2时，ω＝2.∴φ＝，ω＝2或ω＝.规律方法　函数y＝Asin(ωx＋φ)综合应用的注意点(1)对于平移问题，应特别注意要提取x的系数，即将ωx＋φ变为ω后再观察x的变化．(2)对于对称性、单调性问题应特别注意将ωx＋φ看作整体，代入一般表达式解