高中数学第一章三角函数1.8函数y＝asin（ωx＋φ）的图像与性质（一）学案北师大版

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1、§8　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(一)学习目标　1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义(重点).2.能借助计算器或计算机画出y＝Asin(ωx＋φ)的图像，观察参数A，ω、φ对函数图像变化的影响(难点)．知识点1　振幅变换(1)在函数y＝Asinx(A＞0)中，A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅．(2)要得到函数y＝Asinx(A＞0，A≠1)的图像，只要将函数y＝sinx的图像上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)即可得到．【预习评价】　(1)函数y＝－2

2、sin的最大值为________最小值为________．答案　2　－2(2)函数y＝－cosx取得最大值时的x的集合为________．答案　{x

3、x＝2kπ＋π，k∈Z}知识点2　相位变换(1)在函数y＝sin(x＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相，x＋φ为相位．(2)对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y＝sinx的图像上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动

4、φ

5、个单位长度得到的．【预习评价】(1)如何由y＝sinx的图像变换为y＝sin的图像？提示　向左平移个单位长度．(2)如何由y＝sin的图

6、像变换为y＝sinx的图像？提示　向右平移个单位长度知识点3　周期变换(1)在函数y＝sinωx(ω＞0)中，ω决定了函数的周期T＝，通常称周期的倒数f＝＝16为频率．(2)对于函数y＝sinωx(ω＞0，ω≠1)的图像，可以看作是把y＝sinx的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．【预习评价】1．函数y＝2sin的周期、振幅依次是(　　)A．4π，－2B．4π，2C．π，2D．π，－2答案　B2．若函数y＝3sinωx的最小正周期为π，则ω＝________.答案　±2题型一　五点作图法【例1】　

7、用五点法作函数y＝3sin的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率和初相．解　(1)列表：xx－0π2πy030－30(2)描点：在直角坐标系中描出点，，，，.(3)连线：将所得五点用光滑的曲线连起来，如图所示．(4)这样就得到了函数y＝3sin在一个周期内的图像，再将这部分图像向左、向右平移4kπ(k∈Z)个单位长度，得函数y＝3sin的图像．此函数振幅为3，周期为4π，频率为，初相为－.16规律方法　五点法作图关键是列表，一般有下面两种列表方法：(1)分别令ωx＋φ＝0，，π，，2π，再求出对应的x，这体现了整体换元的思想．(2)取ωx0＋φ＝0，得x0

8、＝－，再把x0作为五点中第一个点的横坐标，依次递加一个周期的，就可得到其余四个点的横坐标．【训练1】　用五点法作函数y＝2sin的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率和初相．解　(1)列表：列表时2x＋取值为0、、π、、2π，再求出相应的x值和y值.x－2x＋0π2πy020－20(2)描点．(3)用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如右图所示．利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到y＝2sin，x∈R的简图(图略)．此函数的振幅为2，周期为π，频率为，初相为.题型二　由图像求函数的解析式【例2】　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像

9、的一部分如图所示，求此函数的解析式．解　方法一　(逐一定参法)16由图像知A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)．∵点在函数图像上，∴0＝3sin.∴－×2＋φ＝2kπ，得φ＝＋2kπ(k∈Z)．∵

10、φ

11、<，∴φ＝.∴y＝3sin.方法二　(待定系数法)由图像知A＝3.∵图像过点和，∴解得∴y＝3sin.方法三　(图像变换法)由A＝3，T＝π，点在图像上，可知函数图像由y＝3sin2x向左平移个单位长度而得，所以y＝3sin2，即y＝3sin.规律方法　三角函数中系数的确定方法：给出y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一部分，确定A，ω，φ的

12、方法(1)第一零点法：如果从图像可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图像变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asinωx，再根据图像平移规律确定相关的参数．【训练2】　如图，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，

13、φ

14、<π)的图像，根据图中条件，写出该函数解析式．16解　由图像知

15、A＝5.由＝－π＝，得T＝3π，∴ω＝＝.∴y＝5s