8函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(一)

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1、第一章三角函数§8函数y＝Asin(ωx＋φ)图像与性质(一)学习目标1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ、A对图像的影响.2.掌握y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)图像间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1知识点一φ(φ≠0)对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图像的影响如何由y＝f(x)的图像变换得到y＝f(x＋a)的图像？答案答案向左(a＞0)或向右(a＜0)平移

2、a

3、个单位.思考2如何由y＝sinx的图像变换得到y＝sin(x＋)的图像？答案答案向左平移个单位.梳理如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图像，可以看作

4、是把y＝sinx的图像上所有的点向(当φ>0时)或向(当φ<0时)平行移动个单位长度而得到的.左右

5、φ

6、思考1知识点二ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图像的影响函数y＝sinx，y＝sin2x和y＝sinx的周期分别是什么？答案答案2π，π，4π.思考2当三个函数的函数值相同时，它们x的取值有什么关系？答案答案当三个函数的函数值相同时，y＝sin2x中x的取值是y＝sinx中x取值的，y＝sinx中x的取值是y＝sinx中x取值的2倍.思考3函数y＝sinωx的图像是否可以通过y＝sinx的图像得到？答案答案可以，只要“伸”或“缩”y＝sinx的图像即可.梳理如图所示，函数y＝si

7、n(ωx＋φ)的图像，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图像上所有点的横坐标(当ω>1时)或(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标)而得到.缩短伸长不变思考知识点三A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响对于同一个x，函数y＝2sinx，y＝sinx和y＝sinx的函数值有何关系？答案答案对于同一个x，y＝2sinx的函数值是y＝sinx的函数值的2倍，而y＝sinx的函数值是y＝sinx的函数值的.梳理如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图像上所有点的纵坐标(当A>1时)或(当0

8、四　函数y＝sinx的图像与y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像关系题型探究类型一　平移变换解答对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数.再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为

9、

10、个单位.反思与感悟跟踪训练1要得到y＝cos的图像，只要将y＝sin2x的图像答案解析类型二　伸缩变换例2将函数y＝sin的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)而得到的函数解析式为.答案横向伸缩变换，只变ω，φ不发生变化.反思与感悟跟踪训练2把函数y＝sinx(x∈R)的图像上所有的点向左平移个

11、单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图像所表示的函数是答案解析类型三　图像变换的综合应用解答例3把函数y＝f(x)的图像上的各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图像的解析式是，求f(x)的解析式.所以f(x)＝3cosx.(1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图像的解析式，宜采用逆变换的方法.(2)已知函数f(x)图像的伸缩变换情况，求变换前后图像的解析式.要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可.反思与感悟跟踪训练3将函数y＝2sin(x＋)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得图像对应的函

12、数为偶函数，则m的最小值为答案解析当堂训练√2341答案51.函数y＝cosx图像上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图像的解析式为y＝cosωx，则ω的值为答案√23415答案23415√解析4.将函数y＝sin(－2x)的图像向左平移个单位长度，所得函数图像的解析式为.23415答案解析y＝－cos2x答案解析23415规律与方法1.由y＝sinx的图像，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像，其变化途径有两条：注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移

13、φ

14、个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移个

15、单位，这是很易出错的地方，应特别注意．2.类似地，y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像也可由y＝cosx的图像变换得到．本课结束