2．2.2　等差数列的性质

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1、第二章数列数学·必修5(人教A版)2．2.2等差数列的性质►基础达标1．如果数列{an}是等差数列，则下列式子一定成立的有(　　)A．a1＋a8＜a4＋a5　　B．a1＋a8＝a4＋a5C．a1＋a8＞a4＋a5D．a1a8＝a4a5解析：由等差数列的性质有a1＋a8＝a4＋a5，故选B.答案：B2．在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为(　　)A．30　　　　B．27　　　　C．24　　　　D．21解析：设b1＝39，b2＝33，b3＝a3＋a6＋a9，则b1，b2，b3成等差数列．∴

2、39＋b3＝2b2＝66，b3＝66－39＝27.故选B.答案：B3．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(　　)A．5　　B．4C．3　　D．2解析：设a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15，a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30，两式相减得5d＝15，∴d＝3，故选C.答案：C第二章数列4．在等差数列－5，－3，－2，－，…的每相邻两项插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则新的数列的通项为(　　)A．an＝n－B．an＝－5－(n－1)C．an＝－5－(n－1)D．an＝n2－3n解析：新数列的公差d＝＝，∴

3、an＝－5＋(n－1)·＝n－.故选A.答案：A5．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么由an＋bn所组成的数列的第37项的值为(　　)A．0B．37C．100D．－37解析：设cn＝an＋bn，则c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，故d＝c2－c1＝0，故cn＝100(n∈N*)，从而c37＝100.答案：C6．(2013·广东卷)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.解析：∵3a5＋a7＝2a5＋2a6＝2(a5＋a6)，又

4、∵a3＋a8＝a5＋a6＝10，∴3a5＋a7＝20.答案：20►巩固提高7．(2013·辽宁卷)下面是关于公差d>0的等差数列(an)的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；　p2：数列{nan}是递增数列；第二章数列p3：数列是递增数列；　p4：数列{an＋3nd}是递增数列；其中的真命题为(　　)A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4答案：D8．在△ABC中，若三内角成等差数列，则最大内角与最小内角之和为________．解析：设三内角A、B、C成等差数列，则A＋C＝2B，又A＋C＋B＝180°，∴3B＝180°，B＝6

5、0°，A＋C＝2B＝120°.答案：120°9．已知a，b，c依次成等差数列，求证：a2－bc，b2－ac，c2－ab依次成等差数列．分析：要证三个数a2－bc，b2－ac，c2－ab成等差数列，只需证明等式：(b2－ac)－(a2－bc)＝(c2－ab)－(b2－ac)，即证2(b2－ac)＝(a2－bc)＋(c2－ab)成立．证明：∵a，b，c成等差数列，∴b－a＝c－b＝d，c－a＝2d(设其公差为d)，∴(a2－bc)＋(c2－ab)＝(a2－ab)＋(c2－bc)＝a(a－b)＋c(c－b)＝－ad＋cd＝d(c－a)＝d·2d＝2d2

6、，又b2－ac＝b2－(b－d)(b＋d)＝b2－(b2－d2)＝d2，∴(a2－bc)＋(c2－ab)＝2(b2－ac)，∴a2－bc，b2－ac，c2－ab成等差数列．点评：本题实质上是一个条件等式的证明，关键是条件如何使用．这种证法引入了一个新字母，使条件与结论中的字母减少，关系明朗．此题证法很多，不再一一列举．第二章数列10．设{an}是等差数列，bn＝，且b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝.求等差数列的通项an.分析：求{an}通项公式，关键是要确定数列的首项与公差．可设首项为a1，公差为d，运用方程思想，列两个方程，解方程组即可．解析

7、：设首项为a1，公差为d，由已知得由第二个方程，化简为＝，解得a1＋d＝1，所以a1＝1－d，代入第一个方程得＋＋＝，即＋＝，化简得－＋＝0，解得＝4或＝，所以d＝－2或d＝2，故an＝5－2n或an＝2n－3.点评：方程的思想是指把数学问题所反映的数量关系用解析式的形式表示出来，再把解析式归结为方程，通过解方程的手段或对方程进行研究使问题得以解决．设未知数、列方程、解方程是用方程的思想解数列问题的重要环节．第二章数列1．在做等差数列题时，注意利用结论(若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq)来提高解题速度．因这个结论来源于通项公式，故直接用

8、通项公式也可做出，但所用时间相差很远．2．解题中注意充分利用等差数列的性质，结合已知条件，观察已知与求解间的联系，寻找适当的方法．3．注