2.2.2等差数列的性质课件_

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1、课前热身1.是首项为1，公差为d=3的等差数列，若，则n=()A.667B.668C.669D.6702.在3与27之间插入7个数，使它们成为等差数列，则插入的第4个数是（）A.12B.13C.14D.15CD点拨：等差数列的通项公式:推广的公式：A是a、b的等差中项⇔_____________答案：130学习目标1.进一步巩固等差数列的概念和通项公式．2．掌握等差数列的性质．2．2.2等差数列的性质(1)若{an}是公差为d的等差数列，则：①{c＋an}(c为任一常数)是公差为__的等差数列；②{c·an}(c为任一常数)是公差为____的等差数列．(2)若{an}、{bn}分别

2、是公差为d1、d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p、q是常数)是公差为_______的等差数列．dcdpd1＋qd2常用的等差数列的性质如下：(4)等差数列中，若m＋n＝p＋q，则.特例：若m＋n＝2p，则.(3)等差数列中，若公差d>0，则数列为—————；若d<0，则数列为————；若d＝0，则数列为———．递增数列递减数列常数列早在200多年前，天才数学家高斯就发现了计算1+2+3+...+100的简便方法……思考感悟在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)成立吗？提示：不一定，若an＝3，则a1＋a2＝a3＋a4，但1

3、＋2≠3＋4.(1)(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．35(2)已知等差数列{an}，若a10＝－26，a50＝54，则a60＝________.例1【思路点拨】利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题．(1)利用2a4＝a3＋a5，(2)利用an＝am＋(n－m)d.【答案】(1)C(2)74变式训练1(1)数列{an}中，a3、a10是方程x2－3x－5＝0的两根，若{an}是等差数列，则a5＋a8＝________；(2)在等差数列{an}中，已知a1－a4－a8－a12＋a1

4、5＝2，则a3＋a13＝________.解析：(1)由根与系数的关系知a3＋a10＝3，故a5＋a8＝a3＋a10＝3.(2)由a1＋a15＝a4＋a12，得a8＝－2，∴a3＋a13＝2a8＝－4.答案：(1)3(2)－4(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；【思路点拨】解答本题也可以设出等差数列的首项与公差，建立基本量的方程组求解．【解】(1)设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数依次为a－d，a，a＋d，依题意，3a＝6，且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化简得＝16，于是d＝±4，故这三个数依次为－

5、2,2,6或6,2，－2.例2(2)设这四个数依次为a－3x，a－x，a＋x，a＋3x(公差为2x)，依题意，2a＝2，且(a－3x)(a＋3x)＝－8，即a＝1，a2－9x2＝－8，∴x2＝1，∴x＝1或x＝－1.又四个数成递增等差数列，∴x>0，∴x＝1，故所求的四个数依次为－2,0,2,4.(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首、末两项的积为－8，求这四个数．某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？

6、例3【解】由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，….设从第1年起，第n年的利润为an，则an－an－1＝－20，n≥2，n∈N*.所以每年的利润可构成一个等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20.所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由an＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．【名师点评】“亏损”＝“利润小于零”．由于公差d＜0，所以利润构成的数列是一个递减数列，即随着n的增大，an的值越来越小，an＜0时(此处暗含an－1≥0成立)公司将出现亏

7、损．变式训练2夏季高山上的温度从山脚起，每升高100m，平均降低0.7℃，已知山顶处的温度是14.8℃，山脚处的温度为26℃，问此山相对于山脚的高度是多少？解：∵每升高100m温度降低0.7℃，∴该处温度的变化是一个等差数列问题．山脚温度为首项a1＝26，山顶温度为末项an＝14.8，∴26＋(n－1)×(－0.7)＝14.8，解得n＝17，∴此山的高度为(17－1)×100＝1600(m)．