面向量数量积的物理背景与含

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1、2.4.1平面向量数量积的物理背景与含义南平市高级中学暨新明前面已学过了向量的概念及向量的线性计算，这里引入一种新的向量运算——向量数量积。教科书以物体受力作功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到向量数量积与向量模的大小及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。在定义了数量积的概念后，进一步探究了两个向量的夹角对数量积符号的影响；两个向量的位置与数量积之间的关系；并“探究”研究了运算律。一、教学目的1．知识与技能：　　(1)通过物理中的

2、“功”等实例，理解平面向量数量积的含义和几何意义.　　(2)体会平面向量的夹角、数量积与向量投影的关系.　　(3)掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.2．数学思考(1)培养学生的观察与类比能力“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性与个性　　(2)　培养学生的探究能力，对于一些事例，通过观察进行归纳，总结出一般的结论。3．解决问题利用平面向量数量积可以容易证明平面几何的许多马蹄，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、长方形对角线相等、正方形的对角线垂直平分等。4．情感、态度与价值观：　　由物理背景出发引出数

3、量积的概念，进而从几何直观引导学生自主探索数量积的性质，培养学生的自主探索能力教学目的。二、教学重点：平面向量的数量积定义及及运算律三、教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用四、授课类型：新授课五、教具：多媒体、实物投影仪六、内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的性质、运算律，进一步结合具体例题，加强对数量积性质的运用.七、教学过程：提出问题解决问题师生活动设计意图1、回忆一下物理中“功”一、创设情境我们知道，如果一个物体

4、在力F的作用下产生位移s（如图），且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？W＝︱F︱︱s︱cosθ引导学生认识功这个物理量所涉及的物理量，注意引导学生从“向量相乘”的角度进行分析。的计算，功的大小与哪些量有关？综合向量的学习你有什么相法？功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两种向量的一种运算的结果呢？为此，我们引入向量“数量积”的概念。认识向量的数量积的实际背景，为引出数量积运算定义向量的夹角1、两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯ

5、Ｂ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角说明：（1）当θ＝０时，与同向；（2）当θ＝π时，与反向；（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的夹角范围0°≤q≤180°例、如图，在中，，，，分别求，，的夹角2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，我们把

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9、cosq叫与的数量积（或内积），记作×，即×=

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13、cosq，规定：与任何向量的数量积为0引导学生认清向量向量夹角的定义数量积运算定义中既涉及向量模的大小，又涉及向量的夹角，运算结果是数量使学生

14、在形式上认识数量积的定义探究两个向量的数量积何为正，何时为负？它能等于零吗？投影定义思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负？答：当时，向量的数量积为正值；当时，向量的数量积为负值。探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定大小与两向量的长度与其夹角有关。（2）两个向量的数量积称为内积，写成×；符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替（3）在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数

15、量积中，若¹，且×=0，不能推出=因为其中cosq有可能为0例判断正误，并简要说明理由.①a·0＝0；②0·a＝0；③0－＝；④｜a·ｂ｜＝｜a｜｜ｂ｜；⑤若a≠0，则对任一非零ｂ有a·ｂ≠0；⑥a·ｂ＝0，则a与ｂ中至少有一个为0；3．“投影”的概念：作图定义：

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17、cosq叫做向量在方向上的投影

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19、cosq叫做向量在方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q=0°时投影为

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21、；当q=180°向量的数量积的取值问题通过提问，师生互动理解

22、数量积的计算。两向量共线或垂直时，数量积有什么特殊性呢？时投影为-

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24、.4．数量积的几何意义：数量积×等于的长度与在方向上投影

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26、osq的乘积5．探究：设、为两个非零向量1°^Û×=02°当与同向时，×=

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30、；当与反向时，×=-

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34、特别的×=

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36、2或3°

37、×

38、≤

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42、例1的教学例1已知

43、a

44、=5，

45、b

46、=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b.解：a·b=

47、a

48、

49、b

50、cosθ=5×4×cos120°=5