向量数量积的物理背景与定义(IV)

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1、向量数量积的物理背景与定义7/15/2021复习思考:向量的加法向量的减法实数与向量的乘法两个向量的数量积运算结果向量向量向量7/15/2021学习目标1、掌握平面向量数量积的物理背景；3、掌握平面向量数量积的定义性质及几何意义。2、理解一个向量在另一个向量方向上的正投影的概念；7/15/2021s┓我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）W=

2、F

3、

4、S

5、cosθ其中θ是F与S的夹角F新课引入:功是一个数量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？力F所做

6、的功W应当怎样计算？7/15/2021以计算力做功为背景，我们引入向量的数量积的概念。力做功的计算，涉及到两个概念：两个向量的夹角向量在轴上的射影7/15/20211、向量的夹角的概念两个非零向量和，作，与反向OABOA与同向OABB则叫做向量和的夹角．记作与垂直，OAB注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的特殊情况：怎样找向量的夹角?7/15/2021做一做:如图，等边三角形中，求（1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC通过平移变成共起点！7/15/2021物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位

7、移方向上的力做功．θsF什么是向量的正射影？什么是向量的正射影的数量呢？向量a在l上的正射影是什么？向量a在l上的正射影的数量是什么?坐标呢？怎样表示？a1AaA1O1lxO想一想7/15/2021（1）概念：已知向量a和轴l，作=a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影.OA11OA2、向量在轴上的正射影7/15/2021（2）正射影的数量：向量a的正射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量.记作：al向量a的方向与轴l的正方向所成的角为θ，则有7/15/202

8、1例1：已知轴l,如图在，求（1）向量上的正射影的数量ABOB1A1l（2）向量求在上的正射影的数量解：（1）（2）向量a在向量b上的数量怎样表示7/15/2021上的数量为在时）当（上的数量为在时）当（上的数量为在时）当（上的数量为在时）当（夹角为与若abbababababa000012041203902301,8

9、

10、,4

11、

12、======qqqqq练一练7/15/2021记作定义叫作向量和的数量积（或内积），,即（1）零向量与任意向量的数量积为0，即（2）这是一种新的运算法则，“.”不能省略不写，a·b不能写成a×b，a×b表

13、示向量的另一种运算．（4）在运用数量积公式解题时,一定要注意向量夹角的取值范围是表示数量而不表示向量,决定其结果有三个量，这是与实数乘法的最大区别。（3）3、向量的数量积的定义说明7/15/2021例2．已知

14、a

15、=5，

16、b

17、=4，，求a·b.解:练习1：练习A,1求练习2：在△ABC中7/15/2021小组讨论1、两个非零向量与的数量积结果是一个实数，你能说说其值什么时候为正？为负？为零？2、若对吗？变式：对吗？7/15/2021平面向量数量积a·b的几何意义向量a与b的数量积等于a的长度

18、a

19、与b在a的方向上的正射影的数量

20、

21、b

22、cosθ的积.θBB1OA还有其它说法吗？过A点作OB的垂线，其几何意义怎样表述呢？想一想：7/15/2021设a、b为两个非零向量，e是与b的单位向量.1.ea=ae=

23、a

24、cos;2.abab=03.aa=

25、a

26、2或4.cos=；5.

27、ab

28、≤

29、a

30、.

31、b

32、.内积为零是判定两向量垂直的条件用于计算向量的模用于计算向量的夹角,以及判断三角形的形状4、向量数量积的性质a·b=

33、a

34、

35、b

36、cos7/15/2021例2解练习：练习A27/15/2021我们学到了什么？课堂小结向量的夹角向量在轴上的正射影向量的

37、数量积的定义，几何意义，性质。共起点向量a与b的数量积等于a的长度

38、a

39、与b在a的方向上的正射影的数量

40、b

41、cosθ的积.7/15/2021作业7/15/2021数量积的性质（1）e·a=a·e=

42、a

43、cos（2）a⊥ba·b=0(判断两向量垂直的依据)（3）当a与b同向时，a·b=

44、a

45、·

46、b

47、，当a与b反向时,a·b=−

48、a

49、·

50、b

51、.特别地(用于计算向量的模)（4）（5）

52、a·b

53、≤

54、a

55、·

56、b

57、设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则(用于计算向量的夹角)7/15/2021