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1、2.3.1向量数量积的物 理背景与定义2021/8/17学习目标1、掌握平面向量数量积的物理背景；3、掌握平面向量数量积的定义,性质及几何意义。2、理解一个向量在另一个向量方向上的正射影的概念；2021/8/17s我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）W=
2、F
3、
4、S
5、cosθF新课引入:功W是一个数量，它由向量F和S来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？2021/8/17以计算力做功为背景，我们引入向量的数量积的概念。力做功的计算，涉及到两个概念：两个向量的夹角向量在轴上的射影2021/8
6、/171、向量的夹角的概念两个非零向量和，作，与反向OABOA与同向OABB则叫做向量和的夹角．记作与垂直，OAB特殊情况：注意:求两向量的夹角，必须保证同起点。2021/8/17例1：如图，等边三角形中，求（1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC通过平移变成共起点！小组讨论2021/8/17向量a在l上的正射影的数量AaA1O1lO已知向量a，轴l（如图），al2.向量a在轴l上的正射影θsF
7、F
8、cosθ即F在S上的正射影的数量
9、F
10、cosθ表示F在S上分量的数量2021/8/17例2：已知轴l,如图在，求（1）向量上的正射影的
11、数量ABOB1A1l（2）向量求在上的正射影的数量解：（1）（2）2021/8/17记作定义叫作向量和的数量积（或内积），,即表示数量而不表示向量（2）3、向量的数量积的定义说明（1）“.”不能省略，也不能用“×”代替；2021/8/17向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？思考：a·b=
12、a
13、
14、b
15、cosθ当0°≤θ＜90°时a·b为正；当90°＜θ≤180°时a·b为负。当θ=90°时a·b为零。2021/8/17平面向量数量积a·b的几何意义向量a与b的数量积等于a的长度
16、a
17、与b在a的方向上的正射影的数量
18、b
19、cosθ
20、的积.θBB1OA还有其它说法吗？过A点作OB的垂线，其几何意义怎样表述呢？想一想：2021/8/17例题讲解例3．已知
21、a
22、=5，
23、b
24、=4，求a·b.解:2021/8/17看谁做的快练习1：练习A,1求练习2：在△ABC中答案：-282021/8/17由向量数量积的定义，试完成下面问题：0≤(4)练一练：2021/8/17(4)cos=(a·b)/(
25、a
26、
27、b
28、).(3)当a与b同向时,a·b=
29、a
30、
31、b
32、;当a与b反向时,a·b=-
33、a
34、
35、b
36、.特别地,a·a(或写成a2)=
37、a
38、2或
39、a
40、=√a·a设a，b都是非零向量，e是与b方向相同
41、的单位向量，是a与e的夹角,则(1)e·a=a·e=
42、a
43、cos.向量a与b共线
44、a·b
45、=
46、a
47、
48、b
49、a·b=
50、a
51、
52、b
53、cos(5)
54、a·b
55、≤
56、a
57、
58、b
59、.(2)a⊥ba·b=0.4、向量数量积的性质2021/8/17例4看谁做的快：练习A,2求向量夹角的方法的夹角与求，，，bababa284
60、
61、4
62、
63、=·==2021/8/17求向量模的方法例5看谁做的快2021/8/17我们学到了什么？课堂小结1.向量的夹角2.向量在轴上的正射影的数量3.向量的数量积的定义共起点几何意义：向量a与b的数量积等于a的长度
64、a
65、与b在a的方向上的正
66、射影的数量
67、b
68、cosθ的积.2021/8/17数量积的性质（1）e·a=a·e=
69、a
70、cos（2）a⊥ba·b=0(判断两向量垂直的依据)（3）当a与b同向时，a·b=
71、a
72、·
73、b
74、，当a与b反向时,a·b=−
75、a
76、·
77、b
78、.特别地(用于计算向量的模)（4）（5）
79、a·b
80、≤
81、a
82、·
83、b
84、设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则(用于计算向量的夹角)4.数量积的性质2021/8/17作业：P108三维设计习题：1，2，3，6，7，8.2021/8/17再见2021/8/17
