2016年山东省临沂市高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

《2016年山东省临沂市高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

2016届山东省临沂市高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）　一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A={log2a，3}，B={a，b}，若A∩B={0}，则A∪B=（　　）A．{0，3}B．{0，1，3}C．{0，2，3}D．{0，1，2，3}　2．如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于（　　）A．B．C．D．　3．某商场2014年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，下列函数模型中能较准确反映该商场月销售额f（x）与月份x关系的是（　　）A．f（x）=a•bn（b＞0，且b≠1）B．f（x）=lognx+b（a＞0，且a≠1）C．f（x）=x2+ax+bD．f（x）=　4．下列说法正确的是（　　）A．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，2＜0”B．命题“若sinx=siny，则x=y”的逆否命题为真命题C．若命题p，￢q都是真命题，则命题“p∧q”为真命题D．命题“若△ABC为锐角三角形，则有sinA＞cosB”是真命题　5．函数y=在点（0，1）处切线的斜率为（　　）A．﹣2B．2C．﹣D．　6．已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=ax+x﹣b的零点所在的区间是（　　）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2） 　7．在△ABC中，若cosA=，tan（A﹣B）=﹣，则tanB=（　　）A．B．C．2D．3　8．函数y=的图象大致为（　　）A．B．C．D．　9．若a=log2x，b=，则“a＞b”是“x＞1”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件　10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的方程f（x）=a（0＜a＜1）的所有根之和为（　　）A．3﹣a﹣1B．1﹣3﹣aC．3a﹣1D．1﹣3a　　二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。把正确答案填写在答题卡给定的横线上。11．函数y=cos（）的最小正周期为　　　　　　．　12．函数y=的定义域为　　　　　　． 　13．已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=　　　　　　．　14．已知向量=（2，1），向量=（3，k），且在方向上的投影为2，则实数k的值为　　　　　　．　15．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意x∈R都有f，则不等式f（x3）的解集为　　　　　　．　　三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程。16．已知向量=（sinα﹣2，﹣cosα），=（﹣sinα，cosα），其中α∈R．（1）若⊥，求角α；（2）若|﹣|=，求cos2α的值．　17．在用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx+φ0π2πx　　　　　　π　　　　　　　　　　　　Asin（ωx+φ）03　　　　　　﹣30（Ⅰ）请将上表空格中处所缺的数据填写在答题卡的相应位置上，并直接写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位，得到y=g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．　18．数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．　 19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=2A，且a，b，c成公差为1的等差数列，（1）求a的值；（2）求sin（2A+）的值．　20．某市政府欲在如图所示的直角梯形ABCD的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），性状为直角梯形DEFG（线段ED和FG为两条底边），已知BC=2AB=2AD=4km，其中曲线AC是以A为顶点，AD为对称轴的抛物线的一部分．（Ⅰ）求曲线AC与CD、AD所围成区域的面积．（Ⅱ）求该公园的最大面积．　21．已知函数．（I）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（Ⅱ）若y=f（x）在[4，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=﹣1时，方程有实根，求实数b的最大值．　　 2015-2016学年山东省临沂市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析　一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A={log2a，3}，B={a，b}，若A∩B={0}，则A∪B=（　　）A．{0，3}B．{0，1，3}C．{0，2，3}D．{0，1，2，3}【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】由A，B，以及A与B的交集，求出a的值确定出A，确定出两集合的并集即可．【解答】解：∵A={log2a，3}，B={a，b}，且A∩B={0}，∴log2a=1，b=0，解得：a=2，b=0，即A={0，3}，B={0，2}，则A∪B={0，2，3}，故选：C．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．　2．如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于（　　）A．B．C．D．【考点】向量的线性运算性质及几何意义；向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义；向量数乘的运算及其几何意义．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据三角形中线的性质，得=（+），由平面向量减法得=﹣，两式联解即可得到=﹣+，得到本题答案．【解答】解：∵D是△ABC的边AB的中点，∴=（+） ∵=﹣，∴=（﹣﹣）=﹣+故选：A【点评】本题给出三角形的中线，求向量的线性表示，着重考查了向量的减法及其几何意义、向量的线性运算性质及几何意义等知识，属于基础题．　3．某商场2014年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，下列函数模型中能较准确反映该商场月销售额f（x）与月份x关系的是（　　）A．f（x）=a•bn（b＞0，且b≠1）B．f（x）=lognx+b（a＞0，且a≠1）C．f（x）=x2+ax+bD．f（x）=【考点】函数模型的选择与应用．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】欲找出能较准确反映商场2013年一月份到十二月份月销售额的模拟函数，主要依据是呈现先下降后上升的趋势，故可从三个函数的单调上考虑，前面两个函数没有出现一个递增区间和一个递减区间，应选f（x）=x2+ax+b．【解答】解：（1）若f（x）=a•bn（b＞0，且b≠1），f（x）=lognx+b（a＞0，且a≠1），f（x）=是单调函数，故A，B，D均不满足要求：f（x）=x2+ax+b中，函数在对称轴两侧单调性不一致，能出现一个递增区间和一个递减区间，故选：C．【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．　4．下列说法正确的是（　　）A．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，2＜0”B．命题“若sinx=siny，则x=y”的逆否命题为真命题 C．若命题p，￢q都是真命题，则命题“p∧q”为真命题D．命题“若△ABC为锐角三角形，则有sinA＞cosB”是真命题【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；对应思想；三角函数的图像与性质；简易逻辑．【分析】写出原命题的否定，可判断A；判断原命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性相同，可判断B；根据复合命题真假判断的真值表，可判断C；根据正弦函数的单调性，结合诱导公式，可判断D．【解答】解：命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，2≤0”，故错误；命题“若sinx=siny，则x=y”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故错误；若命题p，￢q都是真命题，则命题q为假命题，则命题“p∧q”为假命题，故错误；若△ABC为锐角三角形，则A+B，则A﹣B，则sinA＞sin（）=cosB，故正确；故选：D．【点评】本题考查的知识点是全称命题的否定，四种命题，复合命题，三角函数，难度中档．　5．函数y=在点（0，1）处切线的斜率为（　　）A．﹣2B．2C．﹣D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】分析法；导数的概念及应用．【分析】求出函数的导数，由导数的几何意义可得在点（0，1）处切线的斜率．【解答】解：函数y=的导数为y′=，由导数的几何意义，可得在点（0，1）处切线的斜率为k==﹣．故选C．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意运用导数的几何意义，正确求导是解题的关键．　6．已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=ax+x﹣b的零点所在的区间是（　　）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数的零点；指数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据对数，指数的转化得出f（x）=（log23）x+x﹣log32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f（0）=1﹣log32＞0，f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，判定即可．【解答】解：∵实数a，b满足2a=3，3b=2，∴a=log23＞1，0＜b=log32＜1，∵函数f（x）=ax+x﹣b，∴f（x）=（log23）x+x﹣log32单调递增，∵f（0）=1﹣log32＞0f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，∴根据函数的零点判定定理得出函数f（x）=ax+x﹣b的零点所在的区间（﹣1，0），故选：B．【点评】本题考查了函数的性质，对数，指数的转化，函数的零点的判定定理，属于基础题．　7．在△ABC中，若cosA=，tan（A﹣B）=﹣，则tanB=（　　）A．B．C．2D．3【考点】两角和与差的正切函数．【专题】方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanA，再根据tan（A﹣B）的值利用两角差的正切公式求得tanB的值．【解答】解：△ABC中，若cosA=，则sinA==，tanA==，又tan（A﹣B）==﹣，则tanB=2，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式的应用，属于基础题．　8．函数y=的图象大致为（　　） A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化规律即可得到答案．【解答】解：∵函数f（x）==，∴f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，故图象关于原点对称，故排除A，∵当x从右趋向于0时，f（x）趋向于+∞，当x趋向于+∞时，f（x）趋向于0，故排除BC，故选：D【点评】本题考查了函数图象的识别，常用的方法利用函数的奇偶性，单调性，特殊值，属于中档题．　9．若a=log2x，b=，则“a＞b”是“x＞1”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】先求出a＞b的充要条件，从而判断出其和x＞1的关系即可．【解答】解：当x=2时：a=b，而a=在（0，+∞）递增，b=在（0，+∞）递减，∴a＞b是x＞2的充要条件，故a＞b是x＞1的充分不必要条件，故选：A． 【点评】本题考查了充分必要条件，考查函数的单调性问题，是一道基础题．　10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的方程f（x）=a（0＜a＜1）的所有根之和为（　　）A．3﹣a﹣1B．1﹣3﹣aC．3a﹣1D．1﹣3a【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】利用奇函数得出当x≥0时，f（x）=，画出图象，根据对称性得出零点的值满足x1+x2，x4+x5的值，关键运用对数求解x3=1﹣3a，整体求解即可．【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），∵当x≥0时，f（x）=，得出x＜0时，f（x）=．画出图象得出：如图从左向右零点为x1，x2，x3，x4，x5，根据对称性得出：x1+x2=﹣4×2=﹣8，x4+x5=2×4=8，﹣（﹣x3+1）=a，x3=1﹣3a，故x1+x2+x3+x4+x5=﹣8+1﹣3a+8=1﹣3a，故选：D． 【点评】本题综合考查函数的性质，图象的运用，函数的零点与函数交点问题，考查了数形结合的能力，属于中档题．　二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。把正确答案填写在答题卡给定的横线上。11．函数y=cos（）的最小正周期为　π　．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】利用诱导公式化简可得y=cos（2x﹣），根据周期公式即可求值．【解答】解：∵y=cos（）=cos（2x﹣），∴最小正周期T=．故答案为：π．【点评】本题主要考查了诱导公式及周期公式的应用，属于基础题．　12．函数y=的定义域为　{x|﹣1＜x≤2，且x≠0}　．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0，对数式的真数大于0联立不等式组得答案．【解答】解：由，解得﹣1＜x≤2，且x≠0． ∴函数y=的定义域为{x|﹣1＜x≤2，且x≠0}．故答案为：{x|﹣1＜x≤2，且x≠0}．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．　13．已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=　95　．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】先由a2+a4=4，a3+a5=10，构造关于首项和公差的方程组，求得首项和公差，再用等差数列前n项和求解．【解答】解：由a2+a4=4，a3+a5=10得可解得：∴故答案为：95【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和公式的应用．　14．已知向量=（2，1），向量=（3，k），且在方向上的投影为2，则实数k的值为　0或4　．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用在方向上的投影=即可得出．【解答】解：在方向上的投影===2，解得k=0或4．经过验证满足方程．∴实数k的值为0或4．故答案为：0或4．【点评】本题考查了向量的投影计算公式，属于基础题．　 15．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意x∈R都有f，则不等式f（x3）的解集为　（﹣∞，1）　．【考点】其他不等式的解法．【专题】转化思想；构造法；不等式的解法及应用．【分析】设g（x）=f（x）﹣，求出g（1），求出g（x）的导函数，确定其单调性，由单调性列式求解【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意x∈R都有f，∴f′（x）﹣＜0，设h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=f′（x）﹣＜0，∴h（x）是R上的减函数，且h（1）=f（1）﹣=1﹣=．故不等式f（x3），即f（x3）﹣＞，即h（x3）＞h（1），即x3＜1，解得﹣∞＜x＜1，∴原不等式的解集为（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法，解答的关键是正确构造出辅助函数，属于中档题．　三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程。16．已知向量=（sinα﹣2，﹣cosα），=（﹣sinα，cosα），其中α∈R．（1）若⊥，求角α；（2）若|﹣|=，求cos2α的值．【考点】平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】（1）由向量垂直的条件：数量积为0，解方程可得角α；（2）运用向量的平方即为模的平方，求得sinα，再由二倍角公式即可得到所求值．【解答】解：（1）向量=（sinα﹣2，﹣cosα），=（﹣sinα，cosα），若⊥，则•=0，即为﹣sinα（sinα﹣2）﹣cos2α=0，即sinα=，可得α=2kπ+或2kπ+，k∈Z；（2）若|﹣|=，即有（﹣）2=2，即（2sinα﹣2）2+（2cosα）2=2，即为4sin2α+4﹣8sinα+4cos2α=2， 即有8﹣8sinα=2，可得sinα=，即有cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=﹣．【点评】本题考查向量的数量积的性质，考查向量垂直的条件：数量积为0，考查同角的平方关系和二倍角的余弦公式的运用，属于中档题．　17．在用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx+φ0π2πx　　π　　　　Asin（ωx+φ）03　0　﹣30（Ⅰ）请将上表空格中处所缺的数据填写在答题卡的相应位置上，并直接写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位，得到y=g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）根据用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象的方法，将上表数据补充完整，直接写出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，以及正弦函数的图象的性质，得出结论．【解答】解：（Ⅰ）根据表中已知数据可得：A=3，ωπ+φ=，ω+φ=，解得ω=，φ=﹣，数据补全如下表：ωx+φ0π2πxπAsin（ωx+φ）030﹣30且函数表达式为f（x）=3sin（x﹣）．（Ⅱ）函数y=3sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到3sin（2x﹣）， 再将所得函数的图象向左平移个单位，得到g（x）=3sin[2（x+）﹣]=3sin（2x+），由2k≤2x+≤2kπ，k∈Z可解得g（x）的单调递增区间为：[kπ，k]，k∈Z．【点评】本题主要考查用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．　18．数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和．【专题】综合题；方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（I）由Sn=2an﹣a1，利用递推可得：an=2an﹣1．由a1，a2+1，a3成等差数列，2（a2+1）=a1+a3，代入解出即可．（II）an+1=2n+1，可得Sn，bn=，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（I）由Sn=2an﹣a1，当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1﹣a1，∴an=2an﹣2an﹣1，化为an=2an﹣1．由a1，a2+1，a3成等差数列．∴2（a2+1）=a1+a3，∴2（2a1+1）=a1+4a1，解得a1=2．∴数列{an}是等比数列，首项为2，公比为2．∴an=2n．（II）an+1=2n+1，Sn==2n+1﹣2，Sn+1=2n+2﹣2．bn===． ∴数列{bn}的前n项和Tn=++…+=．【点评】本题考查了递推关系的应用、“累加求和”方法、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=2A，且a，b，c成公差为1的等差数列，（1）求a的值；（2）求sin（2A+）的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）由已知条件利用正弦定理求出cosA=，利用余弦定理求出cosA=，由此能求出a．（2）分别求出a，b，c的值，从而求出cosA，sinA，sin2A，cos2A的值，由此利用正弦加法定理能求出sin（2A+）的值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=2A，且a，b，c成公差为1的等差数列，∴a=a，b=a+1，c=a+2，=，解得cosA=．由余弦定理得a2=（a+2）2+（a+1）2﹣2（a+2）（a+1）•cosA，解得cosA=．∴，解得a=4．（2）由（1）得b=5，c=6，cosA=，∴sinA==，∴sin2A=2sinAcosA==， cos2A=cosC==，∴sin（2A+）=sin2Acos+cos2Asin=+=．【点评】本题考查三角形边长的求法，考查两角和正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理和正弦加法定理的合理运用．　20．某市政府欲在如图所示的直角梯形ABCD的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），性状为直角梯形DEFG（线段ED和FG为两条底边），已知BC=2AB=2AD=4km，其中曲线AC是以A为顶点，AD为对称轴的抛物线的一部分．（Ⅰ）求曲线AC与CD、AD所围成区域的面积．（Ⅱ）求该公园的最大面积．【考点】定积分．【专题】应用题；函数思想；数学模型法；导数的综合应用．【分析】（1）建立坐标系，求出曲线AC的解析式，则所求面积等于梯形面积减去曲边三角形面积；（2）设出F点横坐标a，将公园面积表示为a的函数，求出函数的最大值即可．【解答】解：（1）以AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（2，4），D（0，2）．∴S梯形ABCD=×（2+4）×2=6．曲线AC的方程为y=x2，（0≤x≤2）．曲线AC与CD、AD所围成区域的面积为6﹣=6﹣|=．（2）直线CD方程为，即y=x+2，设点F横坐标为a，（0＜a＜）． 则F（a，a2），G（a，a+2），E（0，a2）．∴DE=2﹣a2，EF=a，FG=a+2﹣a2，则公园的面积为f（a）==﹣a3+a2+2a．∴f′（a）=﹣3a2+a+2．令f′（a）=0得a1=﹣（舍），a2=1．当0＜a＜1时，f′（a）＞0，当1≤a≤时，f′（a）＜0，∴f（a）在（0，1）上是增函数，在[1，）上是减函数．∴fmax（a）=f（1）=．∴该公园的最大面积是．【点评】本题考查了定积分的应和函数的最大值，属于中档题．　21．已知函数．（I）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（Ⅱ）若y=f（x）在[4，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=﹣1时，方程有实根，求实数b的最大值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】分类讨论；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（I）由条件根据极值点的导数等于零，求得a的值． （Ⅱ）由题意可得则f′（x）=+x2﹣2x﹣a=≥0在[4，+∞）上恒成立，利用导研究函数的单调性，根据单调性求函数的最值，再分类讨论，求得a的范围．（Ⅲ）当a=﹣1时，方程有实根，等价于求b=h（x）=xlnx+x2在（0，+∞）上的值域．再利用导研究函数的单调性，从而求得实数b的最大值．【解答】解：（I）∵函数，∴f′（x）=+x2﹣2x﹣a，若x=2为f（x）的极值点，则f′（2）=+4﹣4﹣a=0，求得a=0．（Ⅱ）若y=f（x）在[4，+∞）上为增函数，则f′（x）=+x2﹣2x﹣a=≥0在[4，+∞）上恒成立，当a=0时，f′（x）=x（x﹣2）≥0在[4，+∞）上恒成立；故a=0满足条件．当≠0时，由f（x）的定义域可得ax+1＞0在[4，+∞）上恒成立，只能a＞0，∴ax2+（1﹣2a）x﹣（a2+2）≥0在[4，+∞）上恒成立．令g（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣（a2+2），由于它的图象的对称轴为x=1﹣＜1，故只要g（4）=16a+4（1﹣2a）﹣（a2+2）≥0在[4，+∞）上恒成立．化简可得a2﹣8a﹣2≤0，求得4﹣3≤a≤4+3．再根据a＞0，可得a的范围是（0，4+3]．（Ⅲ）当a=﹣1时，方程有实根，即lnx+﹣（1﹣x）2+1﹣x=+有实根，即lnx﹣（1﹣x）2+1﹣x=有实根，即b=xlnx﹣x•（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx﹣x3+x2在（0，+∞）上有解．故本题即求b=h（x）=xlnx﹣x3+x2在（0，+∞）上的最值．∵h′（x）=lnx+1+2x﹣3x2，令h′（x）=0，求得x=1，即h′（1）=0，显然，在（0，1）上，h′（x）＞0，h（x）为增函数；在（1，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）为减函数， 故b=h（x）的最大值为h（1）=0．【点评】本题主要考查导数在函数的最大值、最小值中的应用，利用导研究函数的单调性，根据单调性求函数的最值，函数的恒成立问题，属于难题．