离散型随机变量的期望与方差习题课(二)

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1、离散型随机变量的期望与方差(二）例1.(山东07理)设b,c分别是先后掷两次骰子得到的点数,用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0的实根个数.(1)求方程有实根的概率;(2)求ξ的分布列和期望;(3)求在先后两次出现的点数有5的条件下,方程有实根的概率.例2.已知某车站每天8:00—9:00、9:00—10:00都恰好有一辆客车到站；8:00—9:00到站的客车可能在8:10、8:30、8:50到,其概率依次为1/6,1/2,1/3,9:00—10:00到站的客车可能在9:10、9:30、9:50到，其概率依次为1/6,1/2,1/3,今有甲、乙两位旅客，他

2、们到站的时间分别为8:00和8:20，试问他们候车时间的平均值哪个更多？注：8:30到达的概率为1/2即8:10未到而8:30到达的概率为1/2.ξ103050P1/61/21/3η1030507090P1/21/3例3(07宁夏海南理)如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积:在正方形中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为mS/n.假设正方形的边长为2，M的面积为1，并向正方形中随机投掷10000个点，以X表示落入M中的点的数目．（I）求X的均值EX；（II）求用以上方法估计面积时，M的面积

3、的估计值与实际值之差在区间(-0.03,0.03)内的概率．k2424242525742575Q(k)0.04030.04230.95700.9590MADCB例4(2005湖南卷).某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；（Ⅱ）记“函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间[2，＋∞上单调递增”为事件A，求事件A的概率.解:(1)分别记“客人游览甲景点”,“客人游览乙景点”,“客人游览丙

4、景点”为事件A1，A2，A3.由已知A1，A2，A3相互独立,P（A1）=0.4,P（A2）=0.5,P（A3）=0.6.客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3.相应地,客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3.ξ-101Pabc练习2(07江西)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率

5、依次为0.6，0.5，0.75．（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．解:分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1,A2,A3（1）设E表示第一次烧制后恰好有一件合格，则(2)因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p=0.3，所以ξ~B(3,0.3)，故Eξ=np=3×0.3=0.9．练习3:某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的车辆，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事

6、故的概率分别为1/9、1/10、1/11，且各车是否发生事故相互独立。求一年内该单位在此保险中：（1）获赔的概率；（2）获赔金额ξ的分别列与期望。解:设Ak表示第k辆车在一年内发生此种事故k=1,2,3．由题意知A1，A2，A3独立，且P(A1)=1/9，P(A2)=1/10，P(A3)=1/11（1）该单位一年内获赔的概率为(2)ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000．综上知，的分布列为ξ090001800027000P8/1111/453/1101/990例5:在灯谜晚会上，猜谜者需猜两条谜语(谜1和谜2),猜谜者对这两条谜语可以按自己选择

7、的先后顺序去猜，如果他决定先猜i(i=1,2)，则只有当他猜对此谜后才被允许猜另一条谜语，否则就不允许猜另一条谜语了.若猜谜者猜对谜i(=1,2)，则奖xi(i=1,2)元，一中一得，设猜对谜i(i=1,2)这两件事是互不影响的.试问：（1）他应先猜哪条谜语？（2）若x1=200，x2=100，P1=60%，P2=80%(P1、P2分别为猜中谜1、2的概率）,则应先猜哪条谜语？（3）若x1=200，x2=100，P1=60%，P2=75%，则应先猜哪条谜语？解.(1)设猜中谜i(i=1,2)的概率为Pi(i=1,2)若先猜谜1，则所得奖金Y1的分布列为:Y1

8、0x1x1+x2P1-P1P1(1-P2)P1P2若