离散型随机变量的期望与方差习题课

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1、离散型随机变量的期望与方差(一)例1:某保险公司新开设了一项保险业务,若在一年内事件E发生,该公司要赔偿a元.设在一年内E发生的概率为p,为使公司收益的期望值等于a的10%,公司应要求顾客交多少保险金?例2:将一枚硬币抛掷20次,求正面次数与反面次数之差的概率分布,并求出的期望E与方差D.例3(07全国高考)某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润.(Ⅰ)

2、求事件A“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);(Ⅱ)求η的分布列及期望Eη.例4.(07北京高考)某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动).该校合唱团共有100名学生,他们参加活动的次数统计如图所示.(I)求合唱团学生参加活动的人均次数;(II)从合唱团中任意选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率.(III)从合唱团中任选两名学生,用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.1231020304050参加人数活动次数例5(07安徽)在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象,一个关有6只

3、果蝇的笼子里,不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子:6只果蝇和2只苍蝇),只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数.(Ⅰ)写出ξ的分布列(不要求写出计算过程);(Ⅱ)求数学期望Eξ;(Ⅲ)求概率P(ξ≥Eξ).解:(Ⅰ)的分布列为:ξ0123456P7/286/285/284/283/282/281/28离散型随机变量的期望与方差(二)练习:某单位有三辆汽车参加某种事故保险,单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金,对在一年内发生此种事故的车辆,单位获9000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次)。设这三辆

4、车在一年内发生此种事故的概率分别为1/9、1/10、1/11,且各车是否发生事故相互独立。求一年内该单位在此保险中:(1)获赔的概率;(2)获赔金额ξ的分别列与期望。解:设Ak表示第k辆车在一年内发生此种事故k=1,2,3.由题意知A1,A2,A3独立,且P(A1)=1/9,P(A2)=1/10,P(A3)=1/11(1)该单位一年内获赔的概率为(2)ξ的所有可能值为0,9000,18000,27000.综上知,的分布列为ξ090001800027000P8/1111/453/1101/990例6(05江西高考)A、B两位同学各有五张卡片,现以投掷均匀硬币的形式进行游戏,当出现正

5、面朝上时A赢得B一张卡片,否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时,或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数.(1)求ξ的取值范围;(2)求ξ的数学期望Eξ.解:(1)设正面出现的次数为m,反面出现的次数为n,则可得:ξ-101Pabc(07江西)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5,0.6,0.4,经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6,0.5,0

6、.75.(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率;(2)经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为ξ,求随机变量ξ的期望.解:分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1,A2,A3(1)设表示第一次烧制后恰好有一件合格,则解法一:因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p=0.3,所以ξ~B(3,0.3),故Eξ=np=3×0.3=0.9.例.某生在解答数学考试时有两种方案:方案一,按题号顺序解答;方案二,先做解答题,后做选择题、填空题,且分别按题号顺序依次解答.根据以往经验,若能顺利地解答某题,就增强了解答题目地信心,提高后面答题正确率的10%;若解答受挫,就增加了心理负担,

7、降低了后面答题正确率的30%.为了科学地决策,他采用了一个特例模型:在某次考试中有6道题,他答对每道题的概率分布和题目的分值如下表:题号123456概率0.950.90.850.80.50.2分值55551214(1)在方案一中,求他答对第2题的概率;(2)在方案一中,求他答对第3题的概率;(3)请你帮助他做出科学的决策.(决策问题)练习:在灯谜晚会上,猜谜者需猜两条谜语(谜1和谜2),猜谜者对这两条谜语可以按自己选择的先后顺序去猜,如果他决定先猜i(i=1,2),则只有当他猜对

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