离散型随机变量的期望与方差习题课

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1、离散型随机变量的期望与方差(一）例1：某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元.设在一年内E发生的概率为p,为使公司收益的期望值等于a的10%,公司应要求顾客交多少保险金？例2：将一枚硬币抛掷20次，求正面次数与反面次数之差的概率分布，并求出的期望E与方差D.例3(07全国高考）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）

2、求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．例4.(07北京高考)某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动).该校合唱团共有100名学生,他们参加活动的次数统计如图所示．（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（III）从合唱团中任选两名学生,用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．1231020304050参加人数活动次数例5(07安徽)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只

3、果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数.（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；（Ⅱ）求数学期望Eξ；（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）.解:（Ⅰ）的分布列为：ξ0123456P7/286/285/284/283/282/281/28离散型随机变量的期望与方差(二）练习:某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的车辆，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆

4、车在一年内发生此种事故的概率分别为1/9、1/10、1/11，且各车是否发生事故相互独立。求一年内该单位在此保险中：（1）获赔的概率；（2）获赔金额ξ的分别列与期望。解:设Ak表示第k辆车在一年内发生此种事故k=1,2,3．由题意知A1，A2，A3独立，且P(A1)=1/9，P(A2)=1/10，P(A3)=1/11（1）该单位一年内获赔的概率为(2)ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000．综上知，的分布列为ξ090001800027000P8/1111/453/1101/990例6(05江西高考)A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正

5、面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数.（1）求ξ的取值范围；（2）求ξ的数学期望Eξ.解:(1)设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则可得：ξ-101Pabc(07江西)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0

6、.75．（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．解:分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1,A2,A3（1）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p=0.3，所以ξ~B(3,0.3)，故Eξ=np=3×0.3=0.9．例.某生在解答数学考试时有两种方案:方案一,按题号顺序解答；方案二，先做解答题，后做选择题、填空题，且分别按题号顺序依次解答.根据以往经验，若能顺利地解答某题，就增强了解答题目地信心，提高后面答题正确率的10％；若解答受挫，就增加了心理负担，

7、降低了后面答题正确率的30％.为了科学地决策，他采用了一个特例模型:在某次考试中有6道题，他答对每道题的概率分布和题目的分值如下表:题号123456概率0.950.90.850.80.50.2分值55551214(1)在方案一中，求他答对第2题的概率；(2)在方案一中，求他答对第3题的概率；(3)请你帮助他做出科学的决策.(决策问题)练习:在灯谜晚会上，猜谜者需猜两条谜语(谜1和谜2),猜谜者对这两条谜语可以按自己选择的先后顺序去猜，如果他决定先猜i(i=1,2)，则只有当他猜对