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1、椭圆内接四边形面积的计算及应用昭通市巧家县第一中学侯成顺云南师范大学数学学院朱维宗(教授）摘要：本文通过类比圆锥曲线内接焦点三角形面积的计算,利用代数方法来探讨椭圆内接四边形面积的计算,主要讨论了两种椭圆内接四边形的面积计算,一种是椭圆内接焦点四边形,另外一种是椭圆内接以焦点为顶点的四边形.关键词：椭圆；焦点；面积1.椭圆内接焦点四边形（过一个焦点,以右焦点为例）1.1定义：在椭圆中,AB,CD为过椭圆一个焦点的两条弦,故四边形ACBD为椭圆内接焦点四边形.1.2性质：(1)四边形ACBD的面积（其中,）.证明：如
2、右图所示,有,并且设AB,CD的斜率分别为,,故有：AB:CD：联立方程：及同理有：故（为AB与CD的夹角）,令就有：.（2）推论A:当时,.B:当时,,并且有,.推论证明A：当时,说明AB,CD相互垂直,有,5,代入面积公式就有,再利用均值不等式有.B:当时,有,代入就有成立.以下证明,.证明：不妨把椭圆的方程化为(与不同是为零),已知有AB,CD与x轴的夹角相等,设A、B、C、D四个点的坐标为,,,.直线AB、DC、AC、BD的斜率分别为,,,.又点A、C在曲线C上,（1）及（2）,用（2）带入（1）有,同理可
3、得.已知有AB,CD与x轴的夹角相等,,（3）及（4）由这两个式子得：（5）（6）由（5）及（6）得到：=0（7）=0（8）同理有：5将（8）代入有：（9）又再将（8）代入得到：（10）用（9）-（10）得到：若=0故有：结合平行截割线定理有：AB与DC平行,并且都平行于x轴,它与AB,AC,DC,DB的斜率不为零矛盾,说明直线AB,DC与x轴的夹角相等.同理可证明AD,BC与x轴的夹角也相等,有,.1.3实例应用已知椭圆的离心率为,过右焦点F的直线L与曲线相交于A、B两点.当L的斜率为1时,C(0,b)到AB的距
4、离为,延长CF交椭圆于点B,求ACBD的面积.解：由于e=并且、F(c,0)故AB的方程为：又C(0,b)所以C到AB的距离为d=故椭圆的标准方程为：又,即AB与CD垂直,代入公式有：=52椭圆内接焦点四边形（过两个焦点）2.1定义：在椭圆中,AB,CD为过椭圆右左两焦点的弦,并且交椭圆于四点A、B、C、D.则有四边形ACBD为过椭圆两个焦点的内接焦点四边形.2.2性质(1)面积：四边形面积[,]证明:如右图所示,有(-c,0),,并且设AB,CD的斜率分别为,,故有AB:CD：.联立方程：及同理有：(为AB与CD
5、的夹角)[,].（2）推论A:当时,.B:当时,,并且有,.2.3实例应用设椭圆的左右焦点分别为(-1,0),5.右准线交x轴于点A,.过,分别作两条直线与椭圆相交于四个点D、E、M、N.并且DE与x轴的夹角为.MN与直线L交于点G,并且有.求：（1）椭圆的标准方程.(2)四边形DMEN的面积.解：（1）由于(-1,0),.又有A,故有：同理,所以椭圆的标准方程为：(2)由于已知了DE与x轴的夹角为,故有,又,所以有设AN与DE的夹角为,代入公式有：3椭圆内接以焦点为顶点的四边形3.1定义在椭圆中,,为其左右焦点,
6、A、B为椭圆上任意的两点.则四边形称为双曲线以焦点为顶点的内接四边形.3.2性质（1）面积：四边形的面积为证明：由椭圆的定义可知道：（1）由余弦定理有：(2)由（1）与（2）同理有:（为与的夹角;为BF1与BF2的夹角）.5（2）推论：当与互为补角时,有：.证明：当与互为补角时,,所以有：将其代入面积公式中就有;,(当时取到“=”).3.3实例应用已知,为椭圆的两个焦点,A、B为椭圆上任意的两个焦点,并且与为补角,求：(1)当时,求的值.(2)当取得最小值时,与的度数分别为多少？此时面积的最小值为多少？解：（1）由
7、已知a=8,b=5,又,并且与为补角,故有：所以有：(2)由推论可以知道:参考资料：[1]董正洪圆锥曲线内接四边形面积的最值[M]数理化学习（高三）,2009,(3).[2]陈宇对椭圆焦点弦四边形面积最值探究[J]中学数学研究,2009,(4).[3]邱继勇圆锥曲线内接四边形的一个性质[J]中学数学研究,2005,(6).[4]王伯龙圆锥曲线中一类内接四边形性质的探究[J]中学数学月刊,2010,(11).[5]舒金根圆锥曲线内接四边形的一个有趣新性质的简证及类似[J]中学数学研究,2011,(5).[6]马跃进、
8、康宇圆锥曲线内接四边形的一个统一性质[J]中学数学研究,2011,(4).5
