圆的内接四边形

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1、例圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数的比是3﹕2﹕7，求四边形各内角度数．解：设∠A、∠B、∠C的度数分别为3x、2x、7x．∵ABCD是圆内接四边形．∴∠A+∠C=180°即3x+7x=180°，∴x=18°，∴∠A=3x=54°，∠B=2x=36°，∠C=7x=126°，又∵∠B+∠D=180°，∴∠D=180°一36°＝144°．说明：①巩固性质；②方程思想的应用．例如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD与三角形ABC的外接圆相交于D．求证：DB=DC．分析：要证DB=DC，只要证∠BCD=∠CBD，充分利用条件和圆周角的定理以及圆内接

2、四边形的性质，即可解决．说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁．例如图，△ABC是等边三角形，D是上任一点，求证：DB+DC=DA．分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法都可以证明．证明：延长DB至点E，使BE=DC，连AE．在△AEB和△ADC中，BE=DC．△ABC是等边三角形．∴AB=AC．∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∴∠ABE=∠ACD．∴△AEB≌△ADC．∴∠AEB=∠ADC=∠ABC．∵∠ADE=∠ACB，又∵∠ABC=∠ACB＝60°，∴∠AEB=∠ADE=60°．∴△AED是等边三角形，

3、∴AD=DE=DB+BE．∵BE=DC，∴DB+DC=DA．说明：本例利用“截长”和“补短”法证明．培养学生“角相等的灵活转换”能力．在圆中，圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重视．例如图，ABCD是⊙O的内接四边形，，如果第7页共7页，那么（）A．90°B．120°C．135°D．150°说明：“圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.”这个定理很重要，要正确运用.例如图，AD是外角的平分线，AD与外接⊙O交于点D，N为BC延长线上一点，且交⊙O于点M.求证：（1）；（2）分析：（1）由于DB与DC是同一三角形的两

4、边，要证二者相等就应先证明它们的对角相等，这可由圆周角定理与圆内接四边形的基本性质得到：（2）欲证乘积式，只须证比例式，也即，这只须要证明∽即可.说明：本题重在考查圆周角与圆内接四边形的基本性质和利用相似三角形证明比例线段的基本思维方法例如图，已知四边形是圆内接四边形，是⊙的直径，且，与的延长线相交于求证：.说明：本题考查圆内接四边形性质的应用，解题关键是辅助线构造，再证∽.易错点是不易想到证而使解题陷入困境或出现错误.例如图，AB是⊙O的直径，弦（非直径），P是⊙O上不同于的任一点.（1）当点P在劣弧CD上运动时，与的关系如何？请证明你的结论；（2）当点P在优弧CD

5、上运动时，与的关系如何？请证明你的结论（不要讨论P点与A点重合的情形）分析：利用在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理来解决.第7页共7页选择题1．在圆的内接四边形ABCD中，和它的对角的度数的比为1：2，那么为（）A．30°B．60°C．90°C．120°2．四边形ABCD内接于圆，、、、的度数依次可以是（）A．1：2：3：4B．6：7：8：9C．4：1：3：2D．14：3：1：123.四边形内接于圆，、、、的度数比依次可以是（）A．B．C．D．4.如图，四边形内接于⊙，，那么的度数为（）A．B．C．D．5.如图，⊙与⊙交于、两点，且⊙过⊙的圆心，若，则等于

6、（）A．B．C．D．6.圆内接平行四边形一定是（）（A）矩形（B）正方形（C）菱形（D）梯形7．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形8、四边形ABCD内接于圆，则∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可以是()（A）1﹕2﹕3﹕4（B）7﹕5﹕10﹕8（C）13﹕1﹕5﹕17（D）1﹕3﹕2﹕49、若ABCD为圆内接四边形，AE⊥CD于E，∠ABC=130°，则∠DAE为（）（A）50°（B）40°（C）30°（D）20°10、如图，圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于P，对角线AC和BD相交于点Q

7、，则图中共有相似的三角形()（A）4对（B）3对（C）2对（D）1对11．如图，在，AD是高，的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：（1）；（2）；（3）；（4）.其中正确的结论的个数是（）第7页共7页A．1个B．2个C．3个D．4个12．已知：如图，劣弧，那么的度数是（）A．320°B．160°C．150°D．200°13．钝角三角形的外心在（）A．三角形内B．三角形外C．三角形的边上D．上述三种情况都有可能14．圆内接平行四边形的对角线（）A．互相垂直B．互相垂直平分C．相等D．相等且平分每组对角15．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内