椭圆最大面积内接n边形的性质

《椭圆最大面积内接n边形的性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第6期钱从新：椭圆最大面积内接n边形的性质·23·椭圆最大面积内接n边形的性质●钱从新(乐清中学浙江乐清325600)众所周知，圆的内接聘边形当且仅当其为正n边形时具有最大面积．以此为基础，运用面积投影的方法⋯，可以得到定理1．22，，定理1椭圆+=1(口>0，b>0)的内接n边形具有最大面积的充要条件是其各顶点的离心aD角(取[o，2叮T)内的值)从小到大成z~"-2,rr的等差数列，其最大面积为导口6sin2-rr．证明如图1所示，不妨设a>b，将已知椭圆视为底面半径为b的圆柱的L截面外周，则截面与底面所成角的余弦值为．

2、截面内的椭圆内接边形aAA：⋯的面积S与它在圆柱底面上的正投影n边形。B⋯B的面积Js具有固定的倍率关系：S=--“i-S，当且仅当S最大时S有最大值．因此当且仅当底面圆0的内接17,边形BB：⋯为正n边形时，对应的椭圆内接n边形AA⋯A具有最大的面积．设椭圆面上的平面直角坐标系xOy在圆柱底面的正投影为平面直角坐标系0Y，则Oy∥0Y．由几何知识可知，顶点A与它在底面圆周上的投影(i=图11，2，⋯，n)在各自坐标系中的纵坐标相同．在坐标系0～Y中，设Bi坐标为(bcos0，bsin0)(各0取l0，2耵)内的值，不妨设0

3、s0⋯s0)，则坐标系D)，中对应的A坐标为(acosO，bsin0i)，0就是顶点A的离心角．因为当且仅当Ol，⋯，成公差为的等差数列时，圆的内接n边形BB⋯B为正边形，n所以当且仅当顶点A的离心角成公差为的等差数列时，椭圆的内接n边形A⋯A具有最大面积，又当凡边形B1z⋯为正凡边形时，s=詈6sin，故椭圆内接n边形的最大面积s=号口6sin2ifit．沿用上面的符号与图形，还可得到定理2．。定理2在椭圆最大面积内接n边形AA⋯A中，设0为椭圆的中心，△OAA⋯(这里i=1，2，⋯，n，点A川即为点A)的面积相等，均为n

4、b。in．证明在AOA+中，A(。c。s0+(一1)]，6sin0+27r(i一1)】)，则Ai+l(nc。s0。+)，6sin0。+))到直线OA：bsin0+(一1)]一{口c。s0。+(一1)]ly=0的距离为2⋯0+2+7r(i-1)0+1n／7,／凡，7r(i-1)]．6s0+2n7ri)l—————————————]广———————————一n+n)一2n-rr-1)])lI口6sinI———————]丁_-—————一]，·24·中学教研(数学)2014正从而AOA。A⋯的面积II．2IiAi+l：：-．：ab

5、sin2"rrSl~oA这说明每个△OAA⋯的面积相等，虽然它们不全等．依据面积最大内接多边形的几何特性，容易推想定理3．定理3过椭圆x+1(。>o，6>o)最大面积内接n边形A-A⋯A的顶点At作椭圆的切线f，0过与点A相邻的2个顶点作直线z，则l∥2(i=1，2，⋯，)．证明设A(。c。s，6sin)(=1，2，⋯)，由定理1可设，，⋯，成公差为的等差数列．将椭圆方程2边用隐函数求导得Y=一辛’，切如4．-~1的斜率为a‘YjIE：—一—：一∞。慨i。a’Dsin“当i：2，3，⋯，n一1时，直线f的斜率为2bcossi

6、nbsinO“1一bsinO

7、lc，一1—acosOi+1-—acosO==一一鱼一act。nt1／-／．i_l一2asinsin当：1时，记=2-rr，则‘n：：+：+耵，222”’0n+02．0一02，’l一zD。。bsin0一bsin02m丁鱼。。t一=：一一一。t：一从而。—一一一。。1．’acos0n—acos02aZa一2asinsin当=凡时，类似可得=一c。t．综上可知k=k，且当k不存在时，也不存在，故z∥l(i=1，2，⋯，n)．运用三角与复数知识还可得到定理4．定理4设A22-A⋯A是椭圆+=1(a>0

8、，b>O)最大面积内接n边形，设顶点的坐标为(，乃)(=1，2，⋯，)，则有以下性质：(1)(2)，：譬；=1-(3)+~2X3．+Xn_lXn=孚c。s2"17，y+YzY3．+Y．Yl=譬c。s2,fi-；(4)lA1A2l2+IA2A3I+⋯+IA一1Al+IAA1l=2n(口2+b2)sinn．证明设(acosObsin0i)(．『=1，2，⋯，n)，则=aco$Oi，=bsinOj(j=1，2，⋯，凡)，由定理1不．／，第6期钱从新：椭圆最大面积内接边形的性质·25·妨设。，，⋯，成公差为的等差数列．记复数弓=c。

9、soj+i／sin，则{}成等比数列，其中公比q=3n、，COS——+1一SI11——．，且ELg口h：g口n：=-1．∑∑r∑2g凡一2，／=∑∑(1)zj=Z1～(=，⋯，砉=：2、=Il2／此性质说明，椭圆最大面积内接多边形的重心在椭圆∑的中心．．吼z(1一q“)(2)l—q=0，由