椭圆内接定边长三角形的面积最大值

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1、第21卷第4期武汉冶金科技大学学报Vol.21,No.41998年12月JournalofWuhanYejinUniversityofScienceandTechnologyDec.1998椭圆内接定边长三角形的面积最大值舒阳春(工商学系)摘要利用数学分析结合解析几何的方法,解决了椭圆内接定边长三角形的面积最大值的问题。对于不同的定长给出了达到最大面积的计算公式和达到最大面积时三角形的具体坐标位置。关键词圆内接三角形;定边长;最大值中图分类号O182.1文献[1]充分利用抛物线的特性,讨论了对于抛物线上的定长弦。当端点移动时,选取抛物22线上的一点使得三角形的面积具有最大值问题。为讨论椭

2、圆的情况,设椭圆的方程为x/a+22y/b=1,其中a>b>0;A,B为椭圆上的2个动点,AB的弦长为定长l(0

3、2,y2),于是,AB的长为′2′′2′′222222l=(x2-x1)+(y2-y1)=l+[(a-b)/b](y2-y1)(1)222其中:l=(x2-x1)+(y2-y1)为定长。易见
y2-y1
≤1。′引理1l与定长l有不等式关系:′l≤l≤min((a/b)l,2a)′′′′证明:由式(1)得:l≤l,又由
y2-y1
≤1,所以l≤(a/b)l。从而l≤l≤(a/b)l。又因为l是′半径为a的圆上的弦,所以l≤2a。结合上面两个不等式,得:′l≤l≤min((a/b)l,2a)证毕。′′′′′引理2对于每个确定的l,选取圆上任意点C,那么△ABC的最大面积为′1′2′2S*

4、(l)=l(a+a-(l/2))2′′′′当l∈[0,3a]时,S*(l)单调增加;当l∈[3a,2a]时,S*(l)单调减少。′2′2证明:设l=2asin
,0≤
≤
/2,f(
)=S*(2asin
)=asin
(1+cos
),那么f(
)=a收稿日期:1998-06-01舒阳春,男,1957年生,副教授;武汉,武汉冶金科技大学工商学系(430081)。′′(cos
+cos2
)=(2cos
-1)(cos
+1)。容易看出f(
)单调下降,且f(
/3)=0。因此,f(
)在[0,
/3]上单调增加,在[
/3,
/2]上单调减少,于是f(
/3)=S*(3a)为最大值。进

5、一步,′′′由S*(l)=f(arcsin(l/(2a)))得出S*(l)的单调性结果。证毕。[2]′引理3S*(l)与引理2相同。记相对应的椭圆内的△ABC的面积为S(l),那么有:′maxS(l)=(b/a)S*(l)2主要定理和证明2222定理设椭圆的方程为x/a+y/b=1,其中a>b>0;A,B为椭圆上的2个动点,AB的弦长为定长l(0

6、-b)2a-b22222l-3b3a-l1b1-22-a-b3ba2-b22222222B-a(3a-l)(l-3b)+al-3b,22223b(a-b)2a-b2222222l-3b3a-l13a-lb1-22--22ba-b3ba2-b22a-bC只能选取下面两种情况之一:22222C-ab3a-l-bl-3b22,22la-bla-b22222ab3a-lbl-3b或C22,22la-bla-b(2)当3a
(l,min((a/b)l,2a))时,分两种情况讨论:221)当3a

7、(l)最大,maxS(l)=(b/2a)l(a+a-(l/2));222)当3a≥min((a/b)l,2a)时,可取A(-l/2,bl-(l/2a)),B(l/2,bl-(l/2a)),2C(0,-2b)使S(l)最大,maxS(l)=(a/2)l(1+1-(l/2b))。′′′′证明:(1)由假设条件和引理1、引理2,可取l=3a,使△ABC的面积最大。于是,最大222面积S*(3a)=(1/2)3a(a+a-(3a/2))=(