2、.（b4ac-b2}[注:抛物线尸曲快心0）的顶点坐标为-茲,]•（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH丄兀轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积Z比为2：3的两部分，请求出P点的坐标.解：（1）解方程6兀+5=0得q=5,疋=1,由mc=5・所以，抛物线的解析式为），=一/—4x+5.（2）由y=~x2~4x+5f令y=0,得一?-4x+5=0.解这个方程，得兀1
3、=一5,x2=l.所以C点的坐标为（一5,0）.由顶点坐标公式计算得点D（-2,9）.过D作x轴的垂线交x轴于M.127则Sadmc=—X9X（5—2）=—,221125S梯形m/）bo=—X2X（9+5）=14,Swboc=—X5X5=—,222所以S厶bcd=S梯形mdbo+Shdmc—S^boc=14=15.22（3）设P点的坐标为（d,0）,因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5.那么，PH与直线BC的交点坐标为E（67,a+5）.PH与抛物线歹=一"一4兀+5的交点坐标为H（。，一cf—4a+5）.3由题意，得①吩尹,。3即(-/一4°
4、+5)-(0+5)=-@+5).3解这个方程，得ci=—’或a=—5(舍去).222②EH=—EP,即(―—4a+5)—(q+5)=—(°+5).2解这个方程，得——或a=—5(舍去).3即P点的坐标为畀丿、,0说明：处理抛物线的内接三角形的面积问题还要能运用相关的知识来构造岀与所求点的坐标相关的方程.要注意在设抛物线上的点的坐标时，应注意与函数表达式的联用，如本题中E（a,a+5）和H（a,—4a+5）,这样就可以简捷求解.抛物线内三角形问题题型的覆盖面广，涉及知识点多，求解时既要求我们掌握有关抛物线的基础知识，又要求我们能够熟练地运用直角三角形、相似三角形等图形的
5、性质，综合运用点坐标与线段2的关系，利用方程、数形结合、转化归纳、分类等数学思想方法，才能顺利解决问题.二次函数中的三角形问题举例一、三角形面积问题例1如图，已知在同一坐标系屮，直线y=kx-匕与y轴交于点p,抛物线丿23+D时"与兀轴交于忒岭Q,班殆Q两点.c是抛物线的顶点.（1）求二次函数的最小值（用含R的代数式表示）；（2）若点A在点B的左侧，且＜0.①当R取何值时，直线通过点B；②是否存在实数匕使?如果存在，请求出此时抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由.解：（1）尸*+*=«一於.（2）①解得当k=--时，直线过B；3②过C作加丄血于D,则卜卜炉疔，y=j
6、br+2-*y=2--OP=把"0代入直线2,得2,•OP=CD«_0—A8・OP=—^AB・CD「：AB>Q若，即22・・.取T…••当T时'“％此时所求的抛物线的解析式为：二.三角形相似问题已知一次函数y=~x-2的图象分别交兀轴、），轴于4、C两点,(1)求1BA.C两点的坐标;解：⑴仪1Z）（解略）.(2)在X轴上找出点3,使“曲S&J48,若抛物线过4、B、C三点，求出此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，设动点P、Q分别从4、B两点同时出发，以相同速度沿AC、34向C.A运动，连结PQ,使AP=m,是否存在加的值，使以A、P、0为顶点的三角形与相似，
7、若存在，求出所有加的值；若不存在，请说明理由.（2）过C点作曲丄AC,交兀轴于点3,显然，点B为所求设9（邸・・：MCBsMOC,ABAC16-A：20.-.*=9，•酣Q.•.^C=AO"20=16设"WHg-刃‘把°点坐标（。，代入上式，得"巨⑶分两种情况讨论：①陀丹5;②曳丄M・（解略）结论悬存S晋或”乎时,使得必p、Q为顶点的三角形与迥相似.三、三角形的形状问题例3已知抛物线y二严一⑺+⑵兀+二，英屮宀b、c分别是的^4乙LZC的对边.（1）求证：抛物线与x轴有两个交点；（2）设直线丿二处一民与抛物线交于点E、F,与y轴交于点M.若抛物线的对
