抛物线中的三角形面积问题

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1、抛物线中的三角形面积问题织里镇中学汤建平（一）、教学目标1、知识与技能：会用合理的方法求抛物线解析式；能用数形结合、分类讨论、割补法等探究抛物线中三角形面积问题；2、过程与方法：通过学生独立思考、教师设问启发、分小组讨论的方式探究抛物线中的三角形面积问题，培养学生的解题思想，发展学生的探究能力。3、情感与态度：通过小组讨论培养学生合作交流意识、创新意识和探索精神。（二）、重点、难点教学重点：运用三角形、函数、方程有关知识，结合数学思想，探究抛物线中三角形的面积问题是重点；教学难点：灵活运用数形结合、分类讨论、割补法等数学思想方法探究抛物线中三角形面积问题是难点。

2、(三)、教学方法采用启发式教学法，发扬教学民主，鼓励学生大胆实践，真正落实学生是教学的主体，教师是教学的引导者。(四)、教学辅助多媒体平台、几何画板软件、三角板(五)、教学过程1、问题：如图1，Rt△ABC中，若有CO垂直斜边AB于点O，你能得到哪些结论？（对学生的回答要做积极合理的评价。）【预设】：学生应该会说出很多结论，但可能会很零乱，教师必要时可以引导学生从三个方面来考虑：1、从角考虑；2、从边考虑；3、边角结合考虑。图1【设计意图】：此题设计目的是开放问题，在认识上求新。这个图是基本图形，这个问题是开放题，结论很多，可以让更多的学生充分的发表意见，这样既

3、复习了基础知识的，又让部分学困生有机会体验成功，提高学习数学的兴趣。2、问题生成1：如图2，以AB所在直线为x轴，以CO所在的直线为y轴，建立直角坐标系，若AO＝1，OB＝4，请写出A，B，C三点的坐标.【预设】：对于A，B，C三点的坐标，大部分学生易得到（教师要关注学生A点坐标可能会出现的错误：A（1,0）)。【设计意图】：通过这个问题的练习，可以巩固学生根据线段确定坐标的方法。图263、问题生成2：如图3：若一抛物线恰好经过A，B，C三点，试求它的解析式？【预设】：大部分学生会用交点式求抛物线的解析式，但也不排除会有个别学生用一般式求解析式，首先对其做法给予

4、肯定，同时引导他进行比较，让他自己明白哪种方法更合适。【设计意图】：巩固学生如果已知抛物线与x轴的两个交点坐标，应该设交点式来求抛物线解析式。图34、问题生成3：如图4，在上述问题中的抛物线上是否存在点P，使S△ABP＝S△ABC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【预设】：会有学生会抢着答，存在存在，P点是点C关于对称轴的对称点；更多的学生会根据面积算出△ABP的AB边上的高为2，即认为点P的纵坐标为2，带入抛物线解析式求解；也可能有学生会追喊“x轴下方还有2个P点，点P的纵坐标也可以为－2”等，教师要对学生的表现给予充分的肯定。（板书完整过程）【

5、设计意图】：检测学生怎样解决有一条已知公共边的两个三角形面积相等问题，巩固学生掌握运用“同底等高”方法解决此类面积问题。图4【题后小结】：（1）、三角形面积相等问题常常用到：“同底等高”、“等底同高”方法等；（2）、注意“分类讨论”思想的合理运用。5、问题生成3变式一：如图4，在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使S△ABQ＝10，若存在求出点Q坐标，若不存在，请说明理由.【预设】：大部分学生会根据面积计算，求得Q点纵坐标为4，代入解析式解方程，解不出，所以不存在这样的点Q。如果没有学生自己主动提出其它方法的话，教师可以追问。追问1：你还有其它方法吗？（抛物线的

6、顶点坐标是，，所以这样的点Q不存在）追问2：在x轴下方是否存在这样的点Q，若存在，有几个？（x轴下方肯定有2个）【设计意图】：设计这个简单变式问题和2个追问，一是考查学生的计算能力、归纳概况能力、反应能力，提高学生的思维度，二是为学生合作解决变式二做好铺垫，扫清障碍。6、问题生成3的变式二：如图5，若T是抛物线上的点，S△ABT＝a，问点T的个数与a有什么关系？（这个问题关键点是确定x轴上方点T的个数，x轴上方点T的个数的关键点是先确定△ABT面积最大值，即T在顶点处时的面积，然后作比较。）6【预设】：在前面这个问题的铺垫下，让学生小组合作解决这个问题(事先4个

7、人一个小组，分好组，确定组长)，应该有学生有能力解决这个问题。学生小组活动时，教师下课堂巡查学生活动，如有困难，可适时点拨一下。分析：如果点T为顶点（如图5），即T，此时，这是关键点.即当时，点T有三个；　当时，点T只有两个；　当时，点T有四。图5【设计意图】：从变式一中S△ABQ＝10到变式二中S△ABT＝a进行适度拔高，更能考查学生的综合能力，从中让学生了解命题变式的规律，指导学生以后解题怎样去变式、怎样举一反三等等，同时通过学生进行小组合作，培养学生团队合作精神。【题后小结】：（1）、要注意分类讨论，确定重点，突破重点；（2）、要注重关注特殊位置，关键点。

8、7、问题生成4：如图6，