椭圆中的内接三角形的性质.doc

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1、椭圆中的内接三角形的性质广丰一中俞振由椭圆上三点组成的三角形由于在椭圆内，称为椭圆的内接三角形。研究发现，内接三角形有以下性质。性质1：过椭圆上一点P作两条斜率互为相反数的直线分别交椭圆于AB两点，则直线AB的斜率为定值。性质1的证明：证：设A，B，直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，PA的方程为，PB的方程为，联立椭圆和PA，有代入整理得由韦达定理得，解得同理，将k换成-k可得。所以——————————（1），—————————————————————————（2）A在PA上，所以满足，B在PB上，所以

2、满足，因此.所以——————————————————（3）将（1）（2）代入（3）得：.性质2：过椭圆上一点P作两条互相垂直的直线分别交椭圆于AB两点，则直线AB过定点M。性质2的证明：证：（1）当直线AB不与x轴垂直时，设A，B，直线AB的方程为y=kx+m联立直线AB和椭圆，整理得，得，--------------------------------------------（1）因为PA与PB垂直，所以=0，有（展开得-----------------（2）因为；---------------------

3、-------------------------------（3）将（3）代入（2）得——（4）得，点P在椭圆上，因此有，即，代入上式得因式分解得得----------（5）或------------------（6）将（5）代入直线方程得，恒过P，不满足题意。将（6）代入直线方程得，恒过定点M。