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1、2009年11月绵阳师范学院学报Nov.2009第28卷第11期JournalofMianyangNormalUniversityVo.l28No.11仿射性质求椭圆内接三角形的最大面积冯福存(宁夏师范学院数学系,宁夏固原756000)摘要:通过圆和椭圆的仿射等价性及多边形面积之比是仿射不变量,给出椭圆内接三角形的最大面积及其性质,最后给出了具体的作图方法并在初等几何中进行了验证。通过高等几何与初等几何方法的比较,我们会发现仿射变换方法在几何问题的解决过程中的应用,可以使几何解题变的简洁、清晰、迅速。关键词:仿射性质;椭圆内接三角
2、形;最大面积中图分类号:O182文献标识码:A文章编号:1672-612x(2009)11-0005-030引言[1]在高等几何这门学科中,我们知道圆和椭圆是仿射等价的,且仿射变换保留同素性和结合性。圆与椭圆都是初等几何中常见的图形,圆比椭圆更特殊,它有很多很好的性质,与圆有关的命题举不胜举,但椭圆则不然,因为解决与椭圆有关的问题要比解决与圆有关的问题困难得多。我们可以利用仿射变换的思想将与椭圆有关的问题转化为与圆有关的问题,关于这方面的讨论可参阅文献[2-7],文献[9]告诉我们椭圆内接三角形中,给定定边长,如何求三角形的最大
3、面积,文献[10]给出了椭圆及其内接、外切三角形与圆内接、外切三角形的仿射等价问题。本文在文献[9-10]的基础上,进一步推导,给出了椭圆内接三角形的最大面积及其作图方法。1主要定理和证明[8]定理1:圆内接三角形中,正三角形的面积最大。证明:设圆的半径为R圆内接三角形为ABC三边长依次为AB=c,BC=a,AC=b。则1S=absinC2由正弦定理abc===2RsinAsinBsinC得1c11333S=ab=abc(a+b+c)22R4R12RS有最大值时=成立,当且仅当a=b=c。即ABC为正三角形时面积最大。33定
4、理2:椭圆的内接三角形中,重心与椭圆的中心重合的三角形的面积最大,且最大值为ab(其中a,4b分别为椭圆的半长轴和半短轴)。22xy证明:设椭圆的方程为2+2=1,其内接三角形为ABC,对椭圆做仿射变换abax=x,y=yb222则椭圆和ABC的像分别为圆x+y=a和三角形ABC,由结合性可知ABC内接于圆。若三角形收稿日期:2009-08-31作者简介:(1977-),女,讲师,硕士,主要研究方向:几何学。6绵阳师范学院学报(自然科学版)第28卷ABC为正三角形,则ABC为椭圆的一个面积最大的内接
5、三角形。否则,假设圆内接任意三角形A1B1C1与椭圆内接三角形A1B1C1仿射对应,得SABCSABC1=SA1B1C1SA1B1C1对于圆内接正三角形重心即为外心(圆心),圆心经过仿射变换后是椭圆的中心,而重心是仿射不变性,故三角形ABC的重心就是椭圆的中心。且S椭SABC=S圆S正ABC即abSABC2=a323a4得3SABC=3ab42作图方法根据定理2的证明,我们知道圆的内接正三角形在均匀伸缩变换下的像是椭圆的一个面积最大的内接三角形。因此可如下作图(做法1):1.对于给定的椭圆
6、,以其短轴为直径,中心为圆心做椭圆的内切圆;2.在圆周上任取一点A,连接OA;3.将半径OA顺时针、逆时针各旋转120分别交圆周于B、C两点,则ABC为圆内接正三角形;4.过A、B、C三点分别做x轴的平行线与椭圆的交点依次为A、B、C(取与圆无交点的一侧的点),则ABC为椭圆的一个面积最大的内接三角形。当然,由定理2我们知道圆的内接正三角形的仿射像就是椭圆的一个面积最大的内接三角形。而对于圆的内接正三角形的重心就是圆心,可以利用重心是仿射不变性,得椭圆的面积最大的内接三角形的重心和椭圆的中心重合来如下作图(做法2):1.在椭
7、圆上任取一点A,连接A与椭圆的中心O;12.在直线OA上取一点D,使得O在AD之间,且OD=OA;23.任做一直线平行OA,交椭圆于E、F,取EF的中点为L,连接OL,则直线OL是OA的共轭直径;4.过D做OL的平行线交椭圆于B、C两点,则ABC0为椭圆的内接三角形中面积最大的一个三角形。3初等几何验证下面用初等数学的方法来验证上述结论。22xy首先求椭圆的内接三角形的最大面积。设椭圆的方程为2+2=1,在椭圆上任取一点M(顶点除外),ab设过M的直线方程为:y=kx+c,可知直线与椭圆相切的条件为:2222222222222=4ab
8、(ak+b-c)=0,即c=ak+b,不妨取c=ak+b.设与平行的动直线为y=kx+m,要有内接三角形,则m(-c,c).第11期冯福存:仿射性质求椭圆内接三
