三角函数的图像和性质教师讲义

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1、三角函数的图像和性质1.诱导公式（把角写成形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）Ⅰ）Ⅱ）Ⅲ）Ⅳ）Ⅴ）Ⅵ）2、三角函数公式　1、两角和与差的三角函数：　　cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ　　sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ2、倍角公式：　　sin(2α)=2sinα·cosα=2/(t

2、anα+cotα)　　cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2　　　tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：4、同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,（3）商数关系：3、三角函数的图像与性质91．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像“五点法”描图(1)y＝sinx的图像在[0,2π]上的五个关

3、键点的坐标为：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．(2)y＝cosx的图像在[0,2π]上的五个关键点的坐标为：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．2.周期函数定义：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期。（并非所有函数都有最小正周期）三角函数的图像和性质函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR{x

4、x≠kπ＋，k∈Z}图像值域[－1,1][－1,1]R9对称性对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)对称中心：(kπ，0

5、)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：无对称轴对称中心：周期2π2ππ单调性单调增区间；单调减区间单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调增区间奇偶性奇偶奇4．由y＝sinx的图像变换出y＝sin(ωx＋)的图像一般有两个途径利用图像的变换作图像时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y＝sinx的图像向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图像上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ω

6、x＋)的图像。途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将y＝sinx的图像上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图像。3、形如的函数特点（1）几个物理量：A―振幅；―频率（周期的倒数）；—相位；―初相；（2）函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如，的图象如图所示，则＝_____（答：）；（3）函数图象的画法：①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

7、9（4）函数的图象与图象间的关系：①函数的图象纵坐标不变，横坐标向左（>0）或向右（<0）平移个单位得的图象；②函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；③函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象；④函数图象的横坐标不变，纵坐标向上（）或向下（），得到的图象。例：以变换到为例向左平移个单位（左加右减）横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）向左平移个单位（左加右减）纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）分类解析一　三角函数的周期【例1】►求下

8、列函数的周期：　　；9二　三角函数的定义域与值域【例2】►(1)求函数y＝lgsin2x＋的定义域．(2)求函数y＝cos2x＋sinx的最大值与最小值．(1)求函数y＝的定义域；(2)(3)已知的定义域为，求的定义域.三　三角函数的单调性【例3】►求下列函数的单调递增区间．(1)，(2)，(3).【训练3】函数f(x)＝sin的单调减区间为______．四　三角函数的对称性【例4】►(1)函数y＝cos图像的对称轴方程可能是(　　)．A．x＝－B．x＝－C．x＝D．x＝(2)若0＜α＜，是偶函数，则α的值为________．

9、【训练4】(1)函数y＝2sin(3x＋φ)的一条对称轴为x＝，则φ＝________.(2)函数y＝cos(3x＋φ)的图像关于原点成中心对称图形．则φ＝________.五．综合题93.设函数，，，且以为最小正周期．（1）求；（2）求的解析式；（3）已知，求的值．1.已知