三角函数的图像及性质复习讲义.doc

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1、《三角函数的图像与性质》复习讲义【考纲说明】1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图像，了解三角函数的周期性；2.借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、周期性、图像与x轴交点等）；3.结合具体实例，了解的实际意义；【知识梳理】一、三角函数的图像与性质1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数性质图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在在在上是增函数；在上是减函数．上是增函数；在上是减

2、函数．上是增函数．对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴2、函数的性质振幅：；最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴所在直线的方程是由方程解得；凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。一、三角函数图像的变换1、五点法作y=Asin（ωx+）的简图：五点取法是设t=ωx+，由t取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.2、三角函数的图像变换三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．由y＝sinx的图象利用图象变换可得

3、到函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象。注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴方向的伸缩量的区别。二、三角函数中解题常用方法1、由y＝sinx的图象变换出y＝Asin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。途径一：先平移变换（相位变换），再周期变换(横向伸缩变换)，最后振幅变换（纵向伸缩变换）；途径二：先周期变换(横向伸缩变换)，再平移变换（相位变换），最后振幅变换（纵向伸缩变换）。2、由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：（图像或性质）确定解析式y=Asin

4、（ωx+）的题型，通常先通过函数的最值确定，再根据周期确定，最后代入某个中心点坐标来完成的确定。3、由变换出、、的图像，并注意变换后周期的变化。4、求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“、”的形式，利用周期公式。另外还有图像法和周期函数的定义法。【典例剖析】 【例3】求下列函数的定义域：【例4】求下列函数的值域：【例5】判断下列函数的奇偶性：【例6】求下列函数的最小正周期：【例7】求下列各函数的最大值、最小值，并求出使函数取得最大值、最小值时的x的集合．【说明】 求三角函数的最值的类型与方法：1．形如y=asinx+b或y=acosx

5、+b，可根据sinx，cosx的有界性来求最值；2．形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c看成是关于sinx或cosx的二次函数，可转化为y=a(sinx+m)2+k或y=a(cosx+m)2+k求解，但要注意它与二次函数求最值的区别，此时

6、sinx

7、≤1，

8、cosx

9、≤1【例8】求下列函数的单调区间【例9】函数f(x)=Asin(ωx+j)的图象如图2-15，求：(1)f(x)的最小正周期；(2)使f(x)=0的x的取值集合；(3)使f(x)＜0的x的取值集合；(4)f(x)的单调递增区间和递减区间；(5)求

10、使f(x)取最小值的x的集合；(6)图象的对称轴方程；(7)图象的对称中心．【例10】设y=Asin(ωx+j)(A＞0，ω＞0，

11、j

12、＜π)图像上最高点D的标为(6，0)，(1)求A、ω、j的值；(2)求出该函数的频率，初相和单调区间【例13】方程sin2x=sinx在区间(0，2π)内解的个数是（）A．1       B．2       C．3       D．4【例14】已知函数,其中常数;若在上单调递增,求的取值范围。【例15】已知函数，．（1）求的最大值和最小值；（2）在上恒成立，求实数的取值范围．【例16】已知向量,，函数的最大值

13、为6.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．【例17】（2012湖北）已知向量a=，b=，设函数f（x）=a·b+的图像关于直线x=π对称，其中为常数，且(1)求函数f（x）的最小正周期；(2)若y=f（x）的图像经过点求函数f（x）在区间上的取值范围．【例18】（2012安徽卷）设函数（I）求函数的最小正周期；（II）设函数对任意，有，且当时，；求函数在上的解析式。【三角函数知识强化练习题】1.(2013全国）已知函数,下列结论中错误的是（）A.的图像关

14、于中心对称B.的图像关于直线对称C.的最大值为D.既奇函数,又是周期函数2.(2009山东)将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是(