三角函数图像与性质讲义

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1、1.3.2三角函数的图像与性质1．利用单位圆中正弦线作正弦函数图象作法：（几何作法）（1）在直角坐标系的轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从⊙O1与x轴的交点A起，把⊙O1分成12等份，过⊙O1上各点作x轴的垂线，可得对应于等角的正弦线；（2）把轴上这一段分成12等份，把角的正弦线向右平行移动，使正弦线的起点与轴上的点重合；（3）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数，的图象。因为终边相同的角的函数值相同，所以，函数，（）且的图象与函数，的图象的形状完全相同，只是位置不同，于是只要将函数，的图象向左、右平移，就可得到

2、函数，的图象。2．余弦函数的图象由于，所以余弦函数，与函数,，，是同一个函数；这样，余弦函数的图象可由：正弦曲线向左平移个单位得到，即：向左平移个单位3．五点法作图（1），；自变量函数值y010－10（2），．自变量函数值y121014．正弦、余弦函数的定义域、值域函数函数定义域值域5．正切函数的定义域是什么？6．正切函数是不是周期函数？，∴是的一个周期。是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。y7．作，的图象说明：（1）正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是；（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右

3、扩展，得到正切函数，且的图象，称“正切曲线”。（3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的。y0x8．正切函数的性质（1）定义域：；（2）值域：R观察：当从小于，时，当从大于，时，。（3）周期性：；（4）奇偶性：由知，正切函数是奇函数；（5）单调性：在开区间内，函数单调递增。例1：求下列函数的定义域：（1）；（2）（3）例2：求使下列函数取得最大值的自变量的集合，并说出最大值是什么？（1），；（2），．例3：求下列函数的值域：（1）；（2）．例4：求函数的值域。例5：求函数的值域。例6：求函数的最大值和最

4、小值，并写出函数取最值时对应的的值。例7：求函数的值域。例8：如图，有一快以点为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形辟为绿地，使其一边落在半圆的直径上，另两点、落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为，如何选择关于点对称的点、的位置，可以使矩形的面积最大？例9：已知函数（）的最大值为，最小值为，求函数的最大值和最小值。例10：已知函数的定义域是，值域是，求常数．例11：求下列函数的周期：（1）（2）例12：求函数的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。例13：用图象求函数的定义域

5、。例14．“”是“”的条件。例15．与函数的图象不相交的一条直线是（）例16．函数的定义域是（）．例17．函数的值域是（）．例18．函数的奇偶性是（），周期是（）．1.3.3函数的图象1．型函数的图象一般地，函数，的图象可看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（时）或缩短（时）到原来的倍（横坐标不变的情况下）而得到，因此，，的值域是，最大值为，最小值为．2．型函数的图象一般地，函数，（）的图象可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（时）或伸长（时）到原来的倍（纵坐标不变的情况下）而得到的。3．型的函数图象一般地，函数（），的图象，可看作把正

6、弦曲线上所有点向左（时）或向右（时）平行移动个单位而得到。4．的物理意义当，（其中，）表示一个振动量时，表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数，称为振动的频率。称为相位，时的相位称为初相。5．图象的变换一般地，函数，的图象（其中，）的图象，可看作由下面的方法得到：①把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度；②再把所得各点横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变）；③再把所得各点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）

7、到原来的倍（横坐标不变）。即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。例1画出函数，，，，的简图。例2画出函数，，，的函数简图。例3画出函数，，，的简图。例4画出函数的简图。1.3.4函数的解析式1．根据函数图象求解析式例1：已知函数（，）一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式。2．由已知条件求解析式例2：已知函数（，，）的最小值是，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差，且图象经过点，求这个函数的解析式。例3：已知函数（，，）的最大值为，最小值为，周期为，且图象过点，求这个函数的解析式。例1解：（1），∴；（2），∴；

8、（3）∴∴．例2解：（1）使函数，取得最大值的的集合，就是使函数，取得最大值的的集合，所以，函数，的最大值是．（2）令，那么必须并且只需，且使函数，取得最大值的的集合是，由，得，即：使函数，取得最大值的的集