高中数学——三角函数图像和性质讲义.doc

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1、【讲义课题】：三角函数图像和性质【考点及考试要求】1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，3．函数最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是9，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量

2、”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。5．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升

3、降情况找准第一个零点的位置。6．对称轴与对称中心：的对称轴为，对称中心为；的对称轴为，对称中心为；对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；8．求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。9．五点法作y=Asin（ωx+）的简图：五点取法是设x=ωx+，由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。9题型1：三角函数的图象例

4、1．（2000全国，5）函数y＝－xcosx的部分图象是（）解析：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈（0，）时，y＝－xcosx＜0。答案为D。例2．（2002上海，15）函数y=x+sin

5、x

6、，x∈［－π，π］的大致图象是（）解析：由奇偶性定义可知函数y=x+sin

7、x

8、，x∈［－π，π］为非奇非偶函数。选项A、D为奇函数，B为偶函数，C为非奇非偶函数。点评：利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。题型2：三角函数图象的变换例3．试述如何由y=

9、sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象。解析：y=sin（2x+）另法答案：（1）先将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象；9（2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=sinx的图象；（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx的图象。例4．把曲线ycosx+2y－1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（）A．（1－y）sinx+2y－3=0B．（y－1）sinx+2y－3=0C．（y+1）sinx+2

10、y+1=0D．－(y+1)sinx+2y+1=0解析：将原方程整理为：y=，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位，因此可得y=－1为所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0.点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos（x－）+2（y+1）－1=0，即得C选项。题型3：三角函数图象的应用例5图.（1）已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A>0，ω>0，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，求直线y=与函数f（x）图象的所有交点的坐标。解析：根据图象得A=2，T=π－（

11、－）=4π，∴ω=，∴y=2sin（+），又由图象可得相位移为－，∴－=－，∴=.即y=2sin（x+）。根据条件=2sin（），∴=2kπ+(k∈Z)或=2kπ+π9（k∈Z），∴x=4kπ+（k∈Z）或x=4kπ+π（k∈Z）。∴所有交点坐标为（4kπ+）或（4kπ+）（k∈Z）。点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。（2）（2002全国文5）在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x取值范围为（）A．（，）∪（π，）B．（，π）C．（，）D．（，π）∪（，）解析：C；解法一：作出在（0，2π）区间上正

12、弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和，由图1可得C答案。图1图2解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线