线性代数3-2、矩阵的秩

线性代数3-2、矩阵的秩

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时间:2019-11-25

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1、§2矩阵的秩一、矩阵的秩的概念定义:在m×n矩阵A中,任取k行k列(k≤m,k≤n),位于这些行列交叉处的k2个元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式,称为矩阵A的k阶子式.显然,m×n矩阵A的k阶子式共有个.概念辨析:k阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式与元素a12相对应的余子式相应的代数余子式矩阵A的一个2阶子块矩阵A的一个2阶子式定义:设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D,且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于零,那么D称为矩阵A的最高阶非零子式,数r称为矩阵A的秩,记作R(A)

2、.规定:零矩阵的秩等于零.矩阵A的一个3阶子式矩阵A的2阶子式如果矩阵A中所有2阶子式都等于零,那么这个3阶子式也等于零.定义:设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D,且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于零,那么D称为矩阵A的最高阶非零子式,数r称为矩阵A的秩,记作R(A).根据行列式按行(列)展开法则可知,矩阵A中任何一个r+2阶子式(如果存在的话)都可以用r+1阶子式来表示.如果矩阵A中所有r+1阶子式都等于零,那么所有r+2阶子式也都等于零.事实上,所有高于r+1阶的子式(如果存在的话)也都等于零

3、.因此矩阵A的秩就是A中非零子式的最高阶数.规定:零矩阵的秩等于零.矩阵A的秩就是A中非零子式的最高阶数.显然,若矩阵A中有某个s阶子式不等于零,则R(A)≥s;若矩阵A中所有t阶子式等于零,则R(A)

4、A

5、.当

6、A

7、≠0时,R(A)=n;可逆矩阵(非奇异矩阵)又称为满秩矩阵.当

8、A

9、=0时,R(A)

10、AT的子式与A的子式对应相等,从而R(AT)=R(A).例:求矩阵A和B的秩,其中解:在A中,2阶子式.A的3阶子式只有一个,即

11、A

12、,而且

13、A

14、=0,因此R(A)=2.例:求矩阵A和B的秩,其中解(续):B是一个行阶梯形矩阵,其非零行有3行,因此其4阶子式全为零.以非零行的第一个非零元为对角元的3阶子式,因此R(B)=3.还存在其它3阶非零子式吗?例:求矩阵A和B的秩,其中解(续):B还有其它3阶非零子式,例如结论:行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.二、矩阵的秩的计算例:求矩阵A的秩,其中.分析:在A

15、中,2阶子式.A的3阶子式共有(个),要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的.一般的矩阵,当行数和列数较高时,按定义求秩是很麻烦的.行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵.两个等价的矩阵的秩是否相等?定理:若A~B,则R(A)=R(B).证明思路:证明A经过一次初等行变换变为B,则R(A)≤R(B).B也可经由一次初等行变换变为A,则R(B)≤R(A),于是R(A)=R(B).经过一次初等行变换的矩阵的秩不变,经过有限次初等行变换的矩阵的秩仍然不变

16、.设A经过初等列变换变为B,则AT经过初等行变换变为BT,从而R(AT)=R(BT).又R(A)=R(AT),R(B)=R(BT),因此R(A)=R(B).第1步:A经过一次初等行变换变为B,则R(A)≤R(B).证明:设R(A)=r,且A的某个r阶子式D≠0.当或时,在B中总能找到与D相对应的r阶子式D1.由于D1=D或D1=-D或D1=kD,因此D1≠0,从而R(B)≥r.当时,只需考虑这一特殊情形.返回第1步:A经过一次初等行变换变为B,则R(A)≤R(B).证明(续):分两种情形讨论:(1)D中不

17、包含r1中的元素这时D也是B的r阶非零子式,故R(B)≥r.(2)D中包含r1中的元素这时B中与D相对应的r阶子式D1为若p=2,则D2=0,D=D1≠0,从而R(B)≥r;若p≠2,则D1-kD2=D≠0,因为这个等式对任意非零常数k都成立,所以D1、D2不同时等于零,于是B中存在r阶非零子式D1或D2,从而R(B)≥r,即R(A)≤R(B).定理:若A~B,则R(A)=R(B).应用:根据这一定理,为求矩阵的秩,只要用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩.例:求矩

18、阵的秩,并求A的一个最高阶非零子式.解:第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵.行阶梯形矩阵有3个非零行,故R(A)=3.第二步求A的最高阶非零子式.选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列,与之对应的是选取矩阵A的第一、二、四列.R(A0)=3,计算A0的前3行构成的子式因此这就是A的一个最高阶非零子式.分析:对B作初等行变换变为行阶梯形矩阵,设B的行阶梯形矩阵为,则就是A的行阶梯形矩阵,因此可从中同时看出R(A)

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