3-2矩阵的秩.ppt

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1、§2矩阵的秩一、矩阵的秩的概念定义：在m×n矩阵A中，任取k行k列(k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式．——P22显然，m×n矩阵A的k阶子式共有个．概念辨析：k阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式与元素a12相对应的余子式相应的代数余子式矩阵A的一个2阶子块矩阵A的一个2阶子式定义：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)．规定：零矩阵的秩等于零．在秩是r的矩阵中，有

2、没有等于0的r-1阶子式？有没有等于0的r阶子式？矩阵A的一个3阶子式矩阵A的2阶子式如果矩阵A中所有2阶子式都等于零，那么这个3阶子式也等于零．定义：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)．根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵A中任何一个r+2阶子式（如果存在的话）都可以用r+1阶子式来表示．如果矩阵A中所有r+1阶子式都等于零，那么所有r+2阶子式也都等于零．事实上，所有高于r+1阶的子式（如果存在的话）也都等于零．因此矩阵A的秩就是A中非零子式

3、的最高阶数．规定：零矩阵的秩等于零．矩阵A的秩就是A中非零子式的最高阶数．显然，若矩阵A中有某个s阶子式不等于零，则R(A)≥s；若矩阵A中所有t阶子式等于零，则R(A)

4、A

5、．当

6、A

7、≠0时，R(A)=n;可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵．当

8、A

9、=0时，R(A)

10、A中，2阶子式．A的3阶子式只有一个，即

11、A

12、，而且

13、A

14、=0，因此R(A)=2．例：求矩阵A和B的秩，其中解（续）：B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，因此其4阶子式全为零．以非零行的第一个非零元为对角元的3阶子式，因此R(B)=3．还存在其它3阶非零子式吗？例：求矩阵A和B的秩，其中解（续）：B还有其它3阶非零子式，例如结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数．二、矩阵的秩的计算例：求矩阵A的秩，其中．分析：在A中，2阶子式．A的3阶子式共有(个)，要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的．一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的.行阶梯

15、形矩阵的秩就等于非零行的行数.一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵.两个等价的矩阵的秩是否相等？定理：若A~B，则R(A)=R(B)．应用：根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩．例：求矩阵的秩，并求A的一个最高阶非零子式．解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．行阶梯形矩阵有3个非零行，故R(A)=3．第二步求A的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列，与之对应的是选取矩阵A的第一、二、四列．R(A0)=3，计算A0的前3行构成的子式因此这

16、就是A的一个最高阶非零子式．分析：对B作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设B的行阶梯形矩阵为，则就是A的行阶梯形矩阵，因此可从中同时看出R(A)及R(B)．例：设，求矩阵A及矩阵B=(A,b)的秩．解：R(A)=2R(B)=3例：求的值，使矩阵A的秩为最小解：当=0,R(A)=2,当,R(A)=3。所以矩阵的秩的性质若A为m×n矩阵，则0≤R(A)≤min(m,n)．R(AT)=R(A)．若A~B，则R(A)=R(B)．若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(B)．max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)＋R(B)．特别地，当B=b为非零列向量时，有R(A)

17、≤R(A,b)≤R(A)＋1．R(A＋B)≤R(A)＋R(B)．R(AB)≤min{R(A),R(B)}．若Am×nBn×l=O，则R(A)＋R(B)≤n．例：设A为n阶矩阵，证明R(A＋E)＋R(A－E)≥n．证明：因为(A＋E)＋(E－A)=2E，由性质“R(A＋B)≤R(A)＋R(B)”有R(A＋E)＋R(E－A)≥R(2E)=n．又因为R(E－A)=R(A－E)，所以R(A＋E)＋R(A－E)≥n．例：若Am×nBn×l=C，且R(A)=n，则R(B)=R(C)．解：因为R(A)=n，所以A的行最简形矩阵为，设m阶可逆矩阵P，满足．于是因为R(C)=R

18、(PC)，而，故R(B)=R(C)．行