线性代数课件3-2矩阵的秩.ppt

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1、作业中的问题（习题二）解证解第二节矩阵的秩1.k阶子式定义设A为m×n矩阵，在A中任取k行k列(1kmin(m,n))，由这k行，k列的交叉处的k2个元素(按原来的前后顺序)所构成的k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式.(1)A的每个元素aij都是A的一个一阶子式(2)当A为n阶方阵时，n阶子式即为

2、A

3、注：例如：一个2阶子式一个3阶子式矩阵的秩：定义矩阵A的不为0的子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记为R(A)。(显然R(A)min(m,n))矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征。规定：零矩阵的秩为0，即R(O)=0矩阵A

4、的秩小于行数且小于列数例如：所以，R(A)=3例1解例2解练习解计算A的3阶子式，另解显然，非零行的行数为2.此方法简单！行阶梯型矩阵非零行的行数与矩阵的秩之间有何关系？问题：经过变换矩阵的秩变吗？二、矩阵秩的求法!!!请记住：矩阵是否等价只须看矩阵的秩是否相同。A与B等价A与B行阶梯型矩阵非零行的行数相等A与B的秩相等求矩阵秩的方法：求矩阵A的行阶梯型矩阵非零行的行数矩阵经过初等变换之后，秩不变1、先证明经过一次初等行变换后，秩不变，2、再证明经过一次初等列变换后，秩不变，便得到经过一次初等变换，秩不变；于是，经过有限次的

5、初等变换秩不变.A与B等价，即A可经过有限次初等变换变成B证:1、i,j行不在Dr内，2、i,j行都在Dr内时，4、只有j行在Dr内时，3、只有i行在Dr内时，1、i,j行不在Dr内时，2、i,j行都在Dr内时，4、只有i行在Dr内时,3、只有j行在Dr内时,经一次初等变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等变换矩阵的秩仍不变．求矩阵秩的方法：求矩阵A的行阶梯型矩阵非零行的行数例3解思考解例4解由阶梯形矩阵有三个非零行可知,练习解：满秩矩阵与降秩矩阵：例5解只需对增广阵进行初等变换练习解①②③总结④⑤⑥⑦⑧作业：习题三2、3、4

6、、5进一步AA的标准形习题课作业解解猜测用数学归纳法证明解解证由已知得：同样的有：从而即于是得：证