线性代数课件--06矩阵的秩

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1、第六讲矩阵的秩主要内容矩阵的秩的概念；初等变换不改变矩阵的秩的原理，以及矩阵的秩的求法；矩阵的秩的基本性质.基本要求理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变矩阵的秩的原理；掌握用初等变换求矩阵的秩的方法；知道矩阵的标准形与秩的联系；知道矩阵的秩的基本性质.1课件第三节矩阵的秩一、概念的引入用初等变换把矩阵化为标准形.解2课件问题:在的标准形中，左上角的单位矩阵的阶数是否唯一呢？在第一节中，已经指出可以证明标准形的左上角的单位阵的阶数是唯一的，完全由确定.这个数也就是的行阶梯形中非零行的行数，这个便是矩阵的秩.3课件二、子式定义在矩阵中，任取行与列

2、，位于这些行列交叉处的个元素，不改变它们在中所处的位置次序而得到的阶行列式，称为矩阵的阶子式.例如是的一个2阶子式，的2阶子式共有个.一般地，矩阵的阶子式共有个.4课件三、矩阵的秩定义设在矩阵中有一个不等于零的阶子式，且所有阶子式（如果存在的话）全等于零，那么称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵的秩，记作或.规定：零矩阵的秩等于0.例1求矩阵和的秩.5课件在中，容易看出一个2阶子式的3阶子式只有一个因此在中，由于它是行阶梯形矩阵，容易看出它的4阶子式全为零，而以三个非零行的首非零元为对角元的3阶子式不等于零，因此这里的两个行列式分别是和的最高阶

3、非零子式6课件说明根据行列式的展开法则知，在中当所有阶子式全为零时，所有高于阶的子式也全为零，因此把阶非零子式称为最高阶非零子式；矩阵的秩就是中不等于零的子式的最高阶数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征；当矩阵中有某个阶子式不为0，则当矩阵中所有阶子式都为0，则7课件矩阵的秩等于行阶梯形矩阵的非零行数，这也可以作为矩阵的秩定义，但是这样定义矩阵的秩不能清楚表明矩阵的特征.对于阶矩阵，当时，称为满秩矩阵；否则称为降秩矩阵.由于阶矩阵的阶子式只有一个，当时，所以可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又称降秩矩阵.8课件四、

4、矩阵的秩的计算定理3若，则即两个等价矩阵的秩相等.说明根据此定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即是矩阵的秩.证明9课件例2设求矩阵的秩，并求的一个最高阶非零子式.解析：根据定理3，为求的秩，只需将化为行阶梯形矩阵.10课件所以大多情况下只用初等行变换，不用初等列变换11课件再求的一个最高阶非零子式.因此在中,找一个3阶非零子式是比较容易的，另外注意到，的子式都是的子式，所以易求得的一个最高阶非零子式12课件说明最高阶非零子式一般是不唯一的.上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外观察法也是常用

5、的方法.13课件例3设已知，求与的值.解析：这是一道已知矩阵的秩，讨论其中参数的值的题目.一般有两个途径，一是利用行列式，二是用初等变换.当时，的3阶子式全为零，从而可以计算出参数的值.下面用初等变换解答此题.14课件因为，故即说明此方法就是，用初等变换，将矩阵化为比较简单的矩阵，然后根据矩阵的秩进行讨论.15课件例4设求矩阵及矩阵的秩.解析：此题中矩阵的前4列与的列相同，如果用初等行变换将化为行阶梯形，则就是的行阶梯形，故从中可同时看出及16课件由此可见，17课件注：把此题中的看作方程组的系数矩阵，看作常数项列，则就是增广矩阵，由的行阶梯形矩

6、阵知，这个方程组无解，因为行阶梯形的第3行对应的方程为矛盾方程18课件五、矩阵的秩的性质若为矩阵，则若，则若可逆，则特别地，当为列向量时，有即，分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩，不超过所有子块的秩之和.证明19课件矩阵的秩的性质若则证明（下节定理8）（下章例13）20课件关于矩阵的秩的性质的证明题例5设为阶矩阵，证明证因为由性质6，有而所以21课件例6设为矩阵，为矩阵，证明证根据性质7，有而为阶矩阵，所以关于矩阵的秩的性质的证明题22课件例7证明的充分必要条件是存在非零列向量和非零行向量，使证充分性：根据矩阵的秩的性质7，由有另一方面，与都非零

7、，不妨设则的元有于是关于矩阵的秩的性质的证明题23课件必要性：因为所以的标准形为根据矩阵等价理论知，存在可逆矩阵和可逆矩阵，使于是关于矩阵的秩的性质的证明题24课件其中分别是非零列向量和非零行向量.关于矩阵的秩的性质的证明题25课件六、小结矩阵的秩是用矩阵的最高阶非零子式的阶数定义的；矩阵的秩的求法：根据定义，求最高阶非零子式的阶数，根据初等变换不改变矩阵的秩这条性质，用初等变换将矩阵化为行阶梯形，行阶梯形矩阵的行数就是矩阵的秩；矩阵的秩的性质.可逆矩阵的特征刻画：阶矩阵可逆26课件27课件作业：P799.(2)(3)P8011.28课件定理3

8、的证明证先证明：若经过一次初等行变换变为，则设，且的某个阶子式下面分3种情况证明，在中总能找到与相对应的阶子式，且由于因此从而29课件30课件（2）当