线性代数矩阵的秩

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1、一矩阵的秩第六节矩阵的秩二矩阵秩的不等式三思考一、矩阵的秩1、子阵与阶子式将矩阵的某些行和列划去（可以只划去某些行和列），剩下的元素按原来的顺序构成的新矩阵叫做矩阵的子矩阵.中，任取行列在矩阵位于这些行与列交叉处的个元素，依照它们在中的位置次序不变而得的阶行列式，称为矩阵的一个定义定义阶子式.矩阵共有个阶子式.最低阶为阶，最高阶为阶.如：矩阵取第1行、第3行和第1列、第4列交叉处的元素，二阶子式是组成的的最高阶子式是3阶，共有4个3阶子式.易见而在这个矩阵中,都是矩阵的子矩阵.2、矩阵的秩定义（1）（2）则称

2、为矩阵的最高阶非零子式.记为或.（1）性质：（2）（3）（4）阶方阵，（5）最高阶非零子式的阶数称为矩阵的秩，定义阶方阵，为满秩阵.，则称定义，则称为行满秩阵；，则称为列满秩阵；例１解计算A的3阶子式，用定义求矩阵的秩并非易事，后面我们将用初等变换法去求矩阵的秩.先看一个例子，如：矩阵易知该行阶梯形矩阵的秩为2注：行阶梯形矩阵的秩等于行阶梯形矩阵非零行的行数任一矩阵均可通过初等变换化为阶梯形矩阵问题：初等变换是否改变矩阵的秩？定理初等变换不改变矩阵的秩定理设A是一m×n矩阵，P、Q分别为m阶、n阶可逆矩阵，则

3、r(PA)=r(A);r(AQ)=r(A);r(PAQ)=r(A)结论矩阵的秩最高阶非零子式的阶数行阶梯形矩阵非零行的行数行标准形矩阵非零行的行数标准形矩阵中单位矩阵的阶数注：（2）化为行阶梯形矩阵或行标准形矩阵，仅能用初等行变换，而化为标准形矩阵时，初等行变换和初等列变换均可使用.（3）任一矩阵的行标准形矩阵与标准形矩阵唯一.（4）标准形矩阵是等价类中最简单的矩阵.（1）同型同秩矩阵等价.例2设其中求解分析：直接将　化为阶梯形矩阵即可，故二、矩阵秩的不等式单个矩阵的秩既不超过其行数，也不超过其列数对于矩阵的

4、和与乘积的秩有如下结果：定理：两个矩阵乘积的秩不超过每个因子的秩r(AB)≤min{r(A),r(B)}定理(Sylvester公式)：设A、B分别为m×n与n×k的矩阵，则r(AB)≥r(A)+r(B)-n特别地，若AB=O，则r(A)+r(B)≤n定理：设A、B均为m×n的矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B)例3设A为n阶幂等矩阵，即A2=A则r(A)+r(I-A)=n证明：由A2=A，知A(I-A)=O故r(A)+r(I-A)=n由Sylvester公式r(AB)≥r(A)+r(B)-n，可知r(A

5、)+r(I-A)≤n-------①由r(A+B)≤r(A)+r(B)，得r(A)+r(I-A)≥r(A+I-A)=n-------②三、思考：提示：AA*=

6、A

7、I1、若r(A)=n，则

8、A

9、≠0，

10、A*

11、≠0设A为n阶方阵，则故r(A*)=n2、若r(A)=n-1，则AA*=0,又因r(A)+r(A*)≤n(AA*=0)且r(A)=n-1故r(A*)≤1②且A中至少有一个n-1阶子式非零,即r(A*)≥1①所以，r(A*)=13、若r(A)＜n-1，则A中所有n-1阶子式为零故r(A*)=0思考二：设A为

12、n阶方阵，证明：

13、A*

14、=

15、A

16、n-1其中，A*为A的伴随矩阵证明一：因为AA*=

17、A

18、I,故

19、AA*

20、=

21、A

22、n①若

23、A

24、≠0，

25、A*

26、=

27、A

28、n-1②若

29、A

30、=0，则AA*=

31、A

32、I=0且A*必不可逆，即

33、A*

34、=

35、A

36、n-1=0。若A*可逆，AA*=

37、A

38、I=0两端左乘A*的逆得A=0，进一步A*=0与A*可逆矛盾证明二（利用秩关系式）①若

39、A

40、≠0，

41、A*

42、=

43、A

44、n-1②若

45、A

46、=0，则r(A)

47、A*

48、=

49、A

50、n-1=0