线性代数 2.5 矩阵的秩及其求法.ppt

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1、一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的求法第四节矩阵的秩及其求法第二章三、满秩矩阵11.k阶子式定义1设在A中任取k行k列交叉称为A的一个k阶子式。阶行列式，处元素按原相对位置组成的一、矩阵的秩的概念2设，共有个二阶子式，有个三阶子式。例如矩阵A的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为而为A的一个三阶子式。显然，矩阵A共有个k阶子式。32.矩阵的秩设，有r阶子式不为0，任何r+1阶记作R(A)或秩(A)。子式(如果存在的话)全为0,定义2称r为矩阵A的秩，4规定：零矩阵的秩为0.注意：(1)如R(A)=r，则A

2、中至少有一个r阶子式所有r+1阶子式为0，且更高阶子式均为0，r是A中不为零的子式的最高阶数，是唯一的.(2)有行列式的性质，(3)R(A)≤m,R(A)≤n,0≤R(A)≤min{m,n}.(4)如果An×n,且则R(A)=n.反之，如R(A)=n,则因此，方阵A可逆的充分必要条件是R(A)=n.5二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。例1设为阶梯形矩阵，求R(B)。解，由于存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则R(B)=2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。6例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”

3、——非零行的行数。7如果求a.解或例2设8则例392、用初等变换法求矩阵的秩定理2矩阵初等变换不改变矩阵的秩。即则注：只改变子行列式的符号。是A中对应子式的k倍。是行列式运算的性质。由于初等变换不改变矩阵的秩，而任一都等价于行阶梯矩阵。其秩等于它的非零行的行数，即为所以可以用初等变换化A为阶梯矩阵来求A的秩。10例4解R(A)=2，求11例512三、满秩矩阵称A是满秩阵，（非奇异矩阵）称A是降秩阵，（奇异矩阵）可见：A为n阶方阵时，定义3对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵的作用：每对A施行一

4、次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的定理13定理3设A是满秩方阵，则存在初等方阵使得14例如它的行最简形是n阶单位阵E.对于满秩矩阵A，A为满秩方阵。15定理5R(AB)R(A),R(AB)R(B),即R(AB)min{R(A)，R(B)}。关于矩阵的秩的一些重要结论：性质1设A是矩阵，B是矩阵，性质2如果AB=0则性质3如果R(A)=n,如果AB=0则B=0。性质4设A,B均为矩阵，则16设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）≥n证：∵（A+E）+（E-A）=2E∴R（A+E）+R

5、（E-A）≥R（2E）=n而R（E-A）=R（A-E）∴R（A+E）+R（A-E）≥n例817作业P10912318