线性代数-1.矩阵的秩及其求法.pdf

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1、矩阵的秩及其求法1.利用定义求矩阵的秩利用定义求矩阵的秩就是利用矩阵的子式或行列式是否为零来确定矩阵的秩.例1设A(a)为非零矩阵，A为a的代数余子式，ijnnijij若a＝A，求r(A).ijij解因为A0，所以至少有一个元素a0；ij将

2、A

3、按第i行展开，有nn2

4、A

5、aijAijaij0,j1j1故r(A)n.注：我们一般在两个地方用到A；一是行列式按行（列）展开；ij另一个是A*；若在A*中用，这时题目常常与求逆有关.*TAaijO,aijAij0,A____.aijAijAA.133例2设A为n阶方阵且(

6、)=rAn2,求(rA*).解由r(A)n2知：A的所有n1阶子式全为零，故A*0，从而r(A*)0.a1111a11例3设A，若r(A)3，求a.11a1111a解因为r(A)3，所以

7、A

8、0，即a1111a113

9、A

10、(a3)(a1)0.11a1111a11111111当a1时，A，r(A)1；1111111131111311当a3时，A，11311113－311由于A的3阶子式1－31＝－160，r(A)3，故a3.11

11、－3一般地，若abbbbabbAnbbba则有：rA()?n有时我们也利用矩阵的秩来求矩阵的行列式，见例4.例4设A为mn矩阵，B为nm矩阵，且mn，求证

12、AB

13、0.证因为rAB()rA()n，而AB为m阶方阵，且mn.，故AB为降秩方阵，从而

14、AB

15、0.2.利用矩阵的初等变换求矩阵的秩利用矩阵的初等变换求矩阵的秩，就是利用初等变换将A化为阶梯形矩阵，然后由阶梯形矩阵的秩确定A的秩.这是一类非常基本的题目，必须做到会做且做对.102例5设A为43阶矩阵且()rA2，B020.求(rAB.)

16、103102r3r1解因为B020,所以r(B)3，即B为满秩阵，005从而r(AB)r(A)2.关于矩阵秩的公式