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时间:2019-10-28
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1、第五节:矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1.k阶子式定义1设在A中任取k行k列交叉处元素按原相对位置组成的阶行列式,称为A的一个k阶子式。例如共有个二阶子式,有个三阶子式矩阵A的第一、三行,第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为而为A的一个三阶子式。显然,矩阵A共有个k阶子式。2.矩阵的秩定义2设有r阶子式不为0,任何r+1阶子式(如果存在的话)全为0,称r为矩阵A的秩,记作R(A)或秩(A)。规定:零矩阵的秩为0.注意:(1)如R(A)=r,则A中至少有一个r阶子式所有r+1阶子式为0,且更高阶子式均为0,r是A中不为零
2、的子式的最高阶数,是唯一的.(2)有行列式的性质,(3)R(A)≤m,R(A)≤n,0≤R(A)≤min{m,n}.(4)如果An×n,且则R(A)=n.反之,如R(A)=n,则因此,方阵A可逆的充分必要条件是R(A)=n.二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。例1设为阶梯形矩阵,求R(B)。解由于存在一个二阶子式不为0,而任何三阶子式全为0,则R(B)=2.结论:阶梯形矩阵的秩=台阶数。例如一般地,行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。第3页共3页例2设如果求a.解或例3则2、用初等变换法求矩阵的秩定理2矩阵
3、初等变换不改变矩阵的秩。即则注:只改变子行列式的符号。是A中对应子式的k倍。是行列式运算的性质。求矩阵A的秩方法:1)利用初等行变换化矩阵A为阶梯形矩阵B2)数阶梯形矩阵B非零行的行数即为矩阵A的秩。例4求解R(A)=2第3页共3页例5三、满秩矩阵定义3A为n阶方阵时,称A是满秩阵,(非奇异矩阵)称A是降秩阵,(奇异矩阵)可见:对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵的作用:每对A施行一次初等行变换,相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的定理.定理3设A是满秩方阵,则存在初等方阵使得对于满秩矩阵A,
4、它的行最简形是n阶单位阵E.例如A为满秩方阵。关于矩阵的秩的一些重要结论:定理5R(AB)R(A),R(AB)R(B),即R(AB)min{R(A),R(B)}设A是矩阵,B是矩阵,性质1性质2如果AB=0则性质3如果R(A)=n,如果AB=0则B=0。性质4设A,B均为矩阵,则例8设A为n阶矩阵,证明R(A+E)+R(A-E)≥n证:∵(A+E)+(E-A)=2E∴R(A+E)+R(E-A)≥R(2E)=n而R(E-A)=R(A-E)∴R(A+E)+R(A-E)≥n第3页共3页
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