线性代数3-2、矩阵的秩

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1、§2矩阵的秩一、矩阵的秩的概念定义：在m×n矩阵A中，任取k行k列(k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式．显然，m×n矩阵A的k阶子式共有个．概念辨析：k阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式与元素a12相对应的余子式相应的代数余子式矩阵A的一个2阶子块矩阵A的一个2阶子式定义：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)

2、．规定：零矩阵的秩等于零．矩阵A的一个3阶子式矩阵A的2阶子式如果矩阵A中所有2阶子式都等于零，那么这个3阶子式也等于零．定义：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)．根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵A中任何一个r+2阶子式（如果存在的话）都可以用r+1阶子式来表示．如果矩阵A中所有r+1阶子式都等于零，那么所有r+2阶子式也都等于零．事实上，所有高于r+1阶的子式（如果存在的话）也都等于零

3、．因此矩阵A的秩就是A中非零子式的最高阶数．规定：零矩阵的秩等于零．矩阵A的秩就是A中非零子式的最高阶数．显然，若矩阵A中有某个s阶子式不等于零，则R(A)≥s；若矩阵A中所有t阶子式等于零，则R(A)

4、A

5、．当

6、A

7、≠0时，R(A)=n;可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵．当

8、A

9、=0时，R(A)

10、AT的子式与A的子式对应相等，从而R(AT)=R(A)．例：求矩阵A和B的秩，其中解：在A中，2阶子式．A的3阶子式只有一个，即

11、A

12、，而且

13、A

14、=0，因此R(A)=2．例：求矩阵A和B的秩，其中解（续）：B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，因此其4阶子式全为零．以非零行的第一个非零元为对角元的3阶子式，因此R(B)=3．还存在其它3阶非零子式吗？例：求矩阵A和B的秩，其中解（续）：B还有其它3阶非零子式，例如结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数．二、矩阵的秩的计算例：求矩阵A的秩，其中．分析：在A

15、中，2阶子式．A的3阶子式共有(个)，要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的．一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的.行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵.两个等价的矩阵的秩是否相等？定理：若A~B，则R(A)=R(B)．证明思路：证明A经过一次初等行变换变为B，则R(A)≤R(B)．B也可经由一次初等行变换变为A，则R(B)≤R(A)，于是R(A)=R(B)．经过一次初等行变换的矩阵的秩不变，经过有限次初等行变换的矩阵的秩仍然不变

16、．设A经过初等列变换变为B，则AT经过初等行变换变为BT，从而R(AT)=R(BT)．又R(A)=R(AT)，R(B)=R(BT)，因此R(A)=R(B)．第1步：A经过一次初等行变换变为B，则R(A)≤R(B)．证明：设R(A)=r，且A的某个r阶子式D≠0．当或时，在B中总能找到与D相对应的r阶子式D1．由于D1=D或D1=－D或D1=kD，因此D1≠0，从而R(B)≥r．当时，只需考虑这一特殊情形．返回第1步：A经过一次初等行变换变为B，则R(A)≤R(B)．证明（续）：分两种情形讨论：(1)D中不

17、包含r1中的元素这时D也是B的r阶非零子式，故R(B)≥r．(2)D中包含r1中的元素这时B中与D相对应的r阶子式D1为若p=2，则D2=0，D=D1≠0，从而R(B)≥r；若p≠2，则D1－kD2=D≠0，因为这个等式对任意非零常数k都成立，所以D1、D2不同时等于零，于是B中存在r阶非零子式D1或D2，从而R(B)≥r，即R(A)≤R(B)．定理：若A~B，则R(A)=R(B)．应用：根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩．例：求矩

18、阵的秩，并求A的一个最高阶非零子式．解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．行阶梯形矩阵有3个非零行，故R(A)=3．第二步求A的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列，与之对应的是选取矩阵A的第一、二、四列．R(A0)=3，计算A0的前3行构成的子式因此这就是A的一个最高阶非零子式．分析：对B作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设B的行阶梯形矩阵为，则就是A的行阶梯形矩阵，因此可从中同时看出R(A)