高三总复习13——抽象型函数问题的解题策略

《高三总复习13——抽象型函数问题的解题策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、高三总复习——抽象型函数问题的解题策略抽象型函数问题是指没有明确给出具体函数表达式的问题。这类问题对发展学生的思维能力，进行数学思维方法的渗透，有较好的作用，但因其比较抽象，学生往往难以入手。木文就这类问题的解题策略谈点看法。一、通过类比，探索思路方法例].已知f(x)是定义在实数集R上的函数,且f(x+2)[l-f(x)]=l+f(x),f(0)=2-^,求f(1996)的值。1+念)分析：由条件知f(x+2)J一/("),利用此式和f(0)=2-^,逐步递推求出f(1996),显然较.咒、1+tanxtan(x+—)=繁琐

2、，若将此式与41-tanx进行类比，则结构形式类似，而umx的周期为4,于是便产生一个念头，f(x)也是周期函数，周期为4x2=8o我们不妨来证明这一猜想。]Il+*x)仏+4)=1+/3+2)=1_/3)__1"八1"+2)一11+心厂/(x)1-f(X)9+8)=/(x+4+4)=-/(；+羽==f(x)o于是猜想成立，从而有/Q996)=/(249沌+令=f(4)=/(0+4)=_11■'7©=-2-爲二、运用特殊化，推测问题结论。例2・若对于任意正数x,y,总有f(xy)=f(x)+f(y),那么下列各式错谋的是：/(

3、-)=/W-/0)c、》D、f(xn)=nf(x)(neN)分析：考察满足条件的一个函数y=logax(a>(),妙1),显然，A,C,D均成立，B不成立。故选择Bo例3・已知函数f(x)满足：(1)是偶函数;(2)图彖关于直线x=a(a>0)对称；(3)在闭区间［()©］上单调递减。则f(x)是否为周期函数？若是，求出最小止周期；若不是，请说明理rh。分析：由于问题结论的开放件，学生首先感到困难的是没有明确的解题目标。但是，如果我们利用特殊化，注意到COSX符合条件(1)是偶函数，(2)图象关于直线x=7T对称；(3)在［0

4、,兀］上单调递减，而cosx是周期函数，最小正周期是2兀，于是我们推测f(x)是周期函数，最小正周期是2a。下而只要证明这一结论即可。首先证明2a是f(x)的一个周期。rh题设条件，知f(・x)二f(x),f(a+x)二f(a・x),这里x为定义域中任意一个值，于是f(2a4-x)=f［a+(a+x)］=Ja-(a+x)］=A-x)=/(x)从而2a是f(x)的一个周期。再证2a是f(x)的最小正周期。用反证法。假设存在b满足()vb<2a,b也是f(x)的周期，那么对定义域中的任意x,有f(b+x)=f(x)=f(2a+x

5、)0特别地，当x=・b时，f(0)=f(-b)=f(2a-b)o(*)%1若0<2a-bf(2a・b),也与(*)式矛盾；%1若2a-b>a,则冇0了⑷=了(一“)，这与(*)式矛盾。所以，2a是f(x)的最小正周期。三、通过解方程组法(即消去法)求出函数的表达式将未知函数看成未知数，将常数及自变量看成已知数，重复已知条件得到方程组，联立消左非f(x)的变量而解得。例4・已知哪®-5)+莎(5-3沪3兀g为常数，且沪"),

6、求f(x)。t+5x=——解：令3x・5n,则5-3x=-t,彳，代入已知条件，得沏(f)+/(")F+T(1)在(1)中以・t代t,得财(-f)+莎(f)=-t+5(2)(l)m⑵得(叨2-«2)/(Z)=+5(m-f(/)=—-—+—-—(叨2工幷2),m-nm+^2/(x)=+(m2工刑2)・m~nn/(x)+g(x)=—-例5.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且xT,求f(x),g(x)o解：Itl条件f(x),g(x)分别为偶函数与奇函数，所以用・x代x,得到下面的方程组:/(-x)+g(-x)=bA⑴…⑵/

7、(x)+g(x)=JX・/(x)-g(x)=-［⑴+(如濡，=—［⑴-⑵尸2得，g(x)=^―x一1,经检验知，它们是所求的函数。四、利用函数特性，解(证)问题结论例6.函数f(x)对一切实数x,a都有/&+°一了(X)=(2兀+°+1)°成立，并且f(i)=0,求f(x)wo时,x的取值范围。分析：为利用了(1)=°,在已知等式屮令x=l,得于(a+1)-/(I)=(a+3)a=a2+3a,即/(a+Y)=a2+3a令u=a+l,则a=u-l，于是f(饥)=(U-1)2+3(u-1)=w2+u-2.解./W=x2+x-2<0

8、,得-20,求*的取值范围。解:•••f(x)为奇函数,・・./(-log^t+log21-2)=-/(log^t-log21+2从而,由条件得f仗log20-/(