直线与圆锥曲线问题的解题策略（研究性学习）

《直线与圆锥曲线问题的解题策略（研究性学习）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、高中数学高考综合复习专题二十三直线与圆锥曲线问题的解题策略（研究性学习之一）众所周知，点线与圆锥曲线的问题，是解析儿何解答题的主要题型，是历年来高考备考的重点和高考命题的热点。多年备考的实践经验告诉我们，欲更快地提高解决这类问题的实践能力，需要切实解决好以下两个问题:（1）条件或目标的等价转化;（2）对于交点处标的适当处理。本文试从上述两个问题的研究切入，对直线与圆锥曲线问题的解题策略作初步探索，希望对高考备考有所帮助。一、条件或目标的认知与转化解题的过程是一系列转化的过程。从某种意义上说，解题，就是要将

2、所解的题转化为己经解过的题。然而，转化的基础是认知——认知已知、目标的木质和联系。冇了足够的认知基础，我们便町以着力实践化生为熟或化繁为简的转化。1、化生为熟化生为熟是解题的基本策略。在立线与I员I锥曲线相交问题小，弦长问题及弦中点问题是两类基本问题。因此，由宜线与I员I锥曲线相交引出的线段间的关系问题，要注意适时向弦长或弦中点问题转化。一但转化成功，解题便得以驾轻就熟，胜券在握。（1）向弦中点问题转化例1•己知双曲线a护=1（a>0,b>0）的离心率3,过点A（0,-b）和B（a,0）的玄线与原点间的距

3、离为T（1）求双曲线方程；（2）若直线（km^O）与双曲线交于不同两点C、D,且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求m的取值范围。略解:—-y■I（1）所求双曲线方程为3（过程略）y-Jtx*覩⑵由护・3消去y得：(341-*6k^X¥XR1*0-02由题意知，当3时A-L2(«2-3fc2+l)>0+设OCxpYi）-%），CD中点P（咛7t）>则C、D均在以A为圆为的同一圆上oM丄3km3Ka-m-l~~朋丄CDQ,・・・如*于是由②得4由②代入①得，—4n»>C,解得m<0或m>4(-：OXu(

4、*.S于是综合③、④得所求m的范围为4(2)向弦长问题转化的左焦点,M是G上任-点,P是线段FM上的点，且满足M1・M・3：L<7比疋例2.设F是椭圆1927(1)求点P的轨迹C2的方程；(2)过F作直线1与G交于A、D两点，与C2交点B、C两点，I丿U点依A、B、C、D顺序排列，求使冋■伞®I成立的直线1的方程。分析：为避免由代换冏■咖1引发的复杂运算，寻觅替代呦■如的等价条件：设弦AD、BC的中点分別为。5,则，故g卜加据此得知附呦引弓处昨丁•是，所给问题便转化为弦长与弦屮点问题。略解：皿阳F(-tO

5、),一椭圆G的中心2点p分FM所成的比入=2。•^―+*—■1(1)点P的轨迹C2的方程为45(过程略)(2)设直线1的方程为F■就①代入椭圆cI的方程得阳+珈2+阳-3)"—-0•Zm故有9k故弦AD中点O.坐标为顽f科寻岡珂-*♦!-豐;?①代入椭圆C?的方程得賊砂"・*72■°故弦BC屮点O2朋标为4口3k4k3+3#4ka+312(fc3»l)£★3•:由②、③严卜注意到网■伞fifaRq[■存吗-W>于是将②、③、④代入⑤并化简得：X-F-s・a由此解得2。因此所求直线1的方程为辰尢*若・°・2

6、.化繁为简解析儿何是用代数计算的方法解决儿何问题，因此，解答解析儿何问题，人们都冇这样的共同感受：解题方向或途径明朗，但冃标难以靠近或达到。解题时，埋论上介理的思路设计能否在实践中得以实现？既能想到，乂能做到的关键,往往在于能否化繁为简。化繁为简的策略，除去“化生为熟”之外，重耍的当数“借重投影”或“避重就轻”。（1）借助投影对于线段的定比分点以及其它复杂的线段间关系的问题，当题设条件的玄接转化颇为繁朵时，不妨运用当初推导立比分点坐标公式的基木方法；将线段上冇关各点向x轴（或y轴或其它水平肓线）作以投影，

7、进而利用平行线分线段成比例定理推理或转化，这一手法往往能够有效地化解难点，将人们引入熟悉的解题情境。例3・如图，自点M（1,-1）引直线1交抛物线于P]、P2两点,在线段Pl、P2上取-点Q,使呦I、冈、Ml的倒数依次成等差数列，求点Q的轨迹方程。解设气（％刃•璟辛必乂设直线1的方程为”S伏*°①代入“得mz»K2-2^2或+2忑2II乂山题意得两■两•阿作Pi、Q.P2在直线y=l上的投影17、QPJ（如图）a（—

8、上述三式代入④得•••将⑥代入①得片d口）如〉于是山⑥、⑦消去参数k得+再注意到②式，山⑥得I-方或Kx<1+^/2因此，由⑧、⑨得所求点Q的轨迹方程为力・川・0（1■血"VI或（2）避重就轻事物都是一分为二的，复杂问题屮有关事物Z间你屮有我、我屮有你的局血，在给我们解题制造麻烦的同时，也会为我们侧面迂冋、避重就轻带來机会。例4.已知点P、Q在椭恻夕只皿宀附上，椭恻中心为0,且。=°,求椭圆中心0到眩PQ的距分析：这里需耍P、