直线与圆锥曲线的问题

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1、1.已知椭圆C：r+£=i的左、右焦点分别为£、F,,直线l:y=k（x-l）伙HO）与椭圆C交于A,B两点.32〜（1）若AB=^-,求实数k的值；（2）若S*也,求实数£的值;(3)若刃•商+1=0,求实数£的值;（4）若AF=2FB,求实数R的值;(5)已知点0(0,-1),若的角平分线平行于x轴，求实数k的值;(6)是否存在直线/,使得在直线兀=3上可以找到一点P,满足ABP为正三角形.如果存在，求出直线/的方程；如果不存在，请说明理由；(7)在线段上是否存在点M(〃0)，使得以MA,MB为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数加的取值范围；若不

2、存在，请说明理由。2.已知椭圆E：=l(a>b>0),动圆F：x+)•?=，，其中xR

3、仙

4、的最大值.3.(2016全国I)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线/过点B(1,0)且与x轴不重合，/交圆人于C,D两点,过〃作AC的平行线交AD于点E(I)证明

5、EA

6、+

7、EB

8、为定值，并写出点E的轨迹方程；(II)设点E的轨迹为曲线G，直线/交C］于M,N两点，过B且与/垂直的直线与圆A交于两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.3.(2015课程II)己

9、知椭圆C:9x2+/=/n2(m>0),直线/不过原点O且不平行于坐标轴，/与C有两个交点A、B,线段AB的中点为M.(I)证明：直线OM的斜率与直线/的斜率的乘积为定值；(II)若直线/过点(号,加)，延长线段OM与椭圆C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时/的斜率，若不能，说明理由。MN在y轴上的截距为2,且，求【解析】(I)设直线/:y=kx+b(k工O.b工0),,B(x2,y2)9.将)也+b代入9x2+/=m2得(k2+9)兀2+2kbx+戻—m2=0,故心二匕仝khF+99br+9于是直线OS!的斜率g=^-=--f即k^-k=

10、-9・所以直线OS!的斜率0k与/的斜率的乘积为定值.（II）四辺形0山岀能为平行四辺形.因为直线/过点（巴胪），所以/不过原点且与C有两个交点的充要条件杲7c>0,斤=3・39由::I［得OAZ的方程为y=—xkI9Iy=——Y设点P的横坐标为》・由「厂9x2+i‘=V*•即希.履分層弋入直线岷方程施宁，因怜=瞪・碍OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即*=2切•于是±fo?23保+92严kf.解得&=4-护,Zr?=4+V7・因为人>0左严3,i=,2,所以当/的斜率为3伙$+9）~4_护或4+"时，四边形0AP3为平行四边形.16.

11、解：设A（X[,刃）,B（*2,力），直线AB的方程为iy=kx+my=kx+m因为4既在椭圆上，又在直线仙上，从而有｛兀/力2-t+vt=1lab将⑴代入⑵得：（护/+^2）?+2S/兀+/伽2—/）=（）由于直线与椭圆相切，故△=（2如/）2—4（/以+/）/伽2_沪）=0从而可得：7?72=/?2+^2/：2,兀1=—驚~5’同理，由B既在圆上又在直线4B上,kR2可得：m2=R(+^2),%2m(4)10’R2—由⑶⑷得：G=%R)・・・

12、AB

13、2=(x2-Xi)2+(y2一yi)2=(1+灼(兀2一兀1)2=15’普.气型性戏茫咅吐护^2+亠宀

14、瞬=（叶沪（一辭（叶处即AB

15、AB

16、的最大值为a~b20*【答案】(I)—+^-=1(yHO)(II)[12,8V3)【解析】试题分析：利用椭圆定义求方程；(II)把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值。试题解析：(I)(法一)因为

17、AD冃AC

18、,EB//AC,故ZEBD=ZACD=ZADC,所以

19、EB冃E£>

20、,故

21、E4

22、+

23、£B冃E4

24、+

25、ED冃AD

26、.又圆4的标准方程为(x+l)2+y2=16,从而

27、AD

28、=4,所以

29、E4

30、+

31、EB

32、=4.由题设得A(—1,0),B(l,0),

33、AB

34、=2,r

35、h椭圆定义可得点E的轨迹方程为：—+—=1(y工0).43(法二)圆x2+y2+2x-15=0化为(x+1)2+/=16BEDE因为EB//AC,所以一=—,又因为

36、AD冃AC

37、=4,故BE=DEACDA所以

38、e4

39、+

40、eb

41、=

42、E4

43、+

44、de

45、=

46、da

47、=4>

48、ab所以动点E的轨迹为以A,B为焦点，长轴长为4的椭圆除去与兀轴的交点。由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：22—+—=1(yH0).43(II)当/与工轴不垂直时，设？的方程为歹=蚣-1)(20),N(如y=k(x-Y)由＜工2得(斗f+3)J—8上*+4疋一12=0.—+—=1143nl8k1W-12

49、刈兀+乃=斫再'^=_4FTT-所以

50、