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《高考数学_专题二十三_直线与圆锥曲线问题的解题策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、众所周知，直线与圆锥曲线的问题，是解析儿何解答题的主耍题型，是历年來高考备考的重点和高考命题的热点。多年备考的实践经验告诉我们，欲更快地提高解决这类问题的实践能力，需耍切实解决好以下两个问题：(1)条件或目标的等价转化；(2)対于交点坐标的适当处理。本文试从上述两个问题的研究切入，对直线与圆锥曲线问题的解题策略作初步探索，希望对高考备考有所帮助。一、条件或目标的认知与转化解题的过程是一系列转化的过程。从某种意义上说，解题，就是耍将所解的题转化为已经解过的题。然而，转化的基础是认知——认知已知、忖标的本质和联系。有了足够的认知
2、基础，我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化。1、化生为熟化生为熟是解题的慕本策略。在直线与圆锥曲线相交问题中，弦长问题及弦中点问题是两类基本问题。因此，由直线与圆锥曲线相交引出的线段间的关系问题，耍注意适时向弦长或弦中点问题转化。…但转化成功，解题便得以驾轻就熟，胜券在握。(1)向弦中点问题转化例1.已知双曲线XTQ=1(a>O,b>O)的离心率3，过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点间的距离为2(1)求双曲线方程;(2)若直线(km^O)与双曲线交丁•不同两点C、D,且C、D两点都在以A为圆心的同一个処上，求
3、m的取值范围。略解：(1)所求双曲线方程为(过程略)(2)由消去y得：(^-0^+^»+3^3+0=0由题意知,当时,则C、D均在以A为圆心的同一圆上O"丄①"丄曲声4*1于是由②得4③由②代入①得-,解得m〈0或m>4④于是综合③、④得所求m的范围为4（2）向弦长问题转化例2.设F是椭圆927的左焦点，M是G上任一点，P是线段1训上的点，且满（1）求点P的轨迹Q的方程：（2）过F作直线1与G交于A、D两点,与G交点B、C两点，四点依A、B、C、D顺序排列,求使网・轴1成立的直线1的方程。分析：为避免由代换引发的复杂运算，寻
4、觅替代冋*的等价条件：设弦AD、BC的中点分别为0
5、、0?,则，故2，据此得6于是，所给问题便转化为弦长与弦中点问题。略解：OX’SF（-tO）,--椭圆G的中心2点卩分弘1所成的比入二2。或丄I（1）点p的轨迹C2的方程为°3（过程略）（2）设直线1的方程为”絵*°①①代入椭圆G的方程得（卍耆®F•（tt*-刃卄畋=-竺■0故弦AD中点0】坐标为岡■吋咕时■罂寻①代入椭圆C2的方程得阳+阳"如"12-0,可4哥・又有St1・硬7?加4Jta-!244J<-3（4ka业）故弦BC中点Oz坐标为41?+34kJ+3•••由②、
6、③得g卜4JtJ+3注意到
7、OD
8、・2
9、JUJ
10、Og卜務阿于是将②、③、④代入⑤并化简得：W-P-57由此解得2。因此，所求直线1的方程为屁5"・°・2.化繁为简解析几何是用代数计算的方法解决几何问题，因此，解答解析几何问题，人们都冇这样的共同感受：解题方向或途径明朗，但H标难以靠近或达到。解题时，理论上合理的思路设计能否在实践中得以实现？既能想到，乂能做到的关键，往往在于能否化繁为简。化繁为简的策略，除去“化生为熟”之外，重要的当数“借遠投影”或“避重就轻”。（1）借助投影对于线段的定比分点以及莫它复杂的线段间关系的问题，
11、当题设条件的直接转化颇为繁杂时，不妨运用当初推导定比分点坐标公式的基本方法；将线段上有关各点向X轴（或y一轴或其它水平直线）作以投影，进而利用平行线分线段成比例定理推理或
12、]转化，这一手法往往能够冇效地化解难点，将人们引入熟悉的解题情境。阖I例3.如图,自点M（1,-1）引直线1交抛物线于P,P?两点，在线段【〉、、【〉2上取一点Q,使Ml、阀、阿1的倒数依次成等差数列，求点Q的轨迹方程。解：设片①■坊、出山亠入么耳玖乂设直线1的方程为①代入得或k>2+2^2I1_又由题意得冋■丽‘冋作爪Q.E在直线y二T上的投影PJ、Q
13、‘、P2（如图）乂令直线1的倾斜角为2则由皿得KI同理,•••将上述三式代入④得=JT-l■斗£-（旺4■屯）442（无*壬）一2x-l2I・■II・•・将③代入⑤得2ft—2・•・将⑥代入①得Jt-2于是由⑥、⑦消去参数k得"并冷一。^氐・卄1=°⑧再注意到②式，由⑥得或⑨因此，由⑧、⑨得所求点Q的轨迹方程为（2）避重就轻事物都是-•分为二的，复朵问题中有关事物么间你中有我、我中有你的局面，在给我们解题制造麻烦的同时，也会为我们侧面迂回、避重就轻带来机会。例4.已知点P、Q在椭圆宀时*匕椭圆中沁且帚灵"，求椭圆中心0到弦P
14、Q的距离。分析：这里需耍P、Q点坐标，对此，如果直面直线PQ方程和椭圆方程联立方程组，则不论是求解P、Q坐标，还是利用所设P、Q坐标，都不免招致复杂局面。于是转而考虑侧面迂回，避重就轻，同时，注意到P、Q两点的双重属性,想到避开正面求解，而由直线0P（或0Q）方程和椭圆方程联立方程组解出点
