高中数学素材：直线与圆锥曲线问题的解题策略

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1、金星教学考试网www.jxjxks.com直线与圆锥曲线问题的解题策略（研究性学习之一）　　众所周知，直线与圆锥曲线的问题，是解析几何解答题的主要题型，是历年来高考备考的重点和高考命题的热点。多年备考的实践经验告诉我们，欲更快地提高解决这类问题的实践能力，需要切实解决好以下两个问题：　　（1）条件或目标的等价转化；（2）对于交点坐标的适当处理。　　本文试从上述两个问题的研究切入，对直线与圆锥曲线问题的解题策略作初步探索，希望对高考备考有所帮助。　　一、条件或目标的认知与转化　　解题的过程是一系列转化的过

2、程。从某种意义上说，解题，就是要将所解的题转化为已经解过的题。然而，转化的基础是认知——认知已知、目标的本质和联系。有了足够的认知基础，我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化。　　1、化生为熟　　化生为熟是解题的基本策略。在直线与圆锥曲线相交问题中，弦长问题及弦中点问题是两类基本问题。因此，由直线与圆锥曲线相交引出的线段间的关系问题，要注意适时向弦长或弦中点问题转化。一但转化成功，解题便得以驾轻就熟，胜券在握。　　（1）向弦中点问题转化　例1.已知双曲线=1（a>0,b>0）的离心率，过点A（0,-

3、b）和B（a,0）的直线与原点间的距离为　　（1）求双曲线方程；　　（2）若直线（km≠0）与双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求m的取值范围。　　略解：（1）所求双曲线方程为（过程略）　　（2）由消去y得：　　由题意知，当时，　　①　　设中点　则C、D均在以A为圆心的同一圆上又∴②　　于是由②得③　　由②代入①得，解得m<0或m>4　④　　于是综合③、④得所求m的范围为金星国际教育集团版权所有@金星教学考试金星教学考试网www.jxjxks.com　　（2）向弦长问题转

4、化　例2．设F是椭圆的左焦点，M是C1上任一点，P是线段FM上的点，且满足（1）求点P的轨迹C2的方程；　　（2）过F作直线l与C1交于A、D两点，与C2交点B、C两点，四点依A、B、C、D顺序排列，求使成立的直线l的方程。　　分析：为避免由代换引发的复杂运算，寻觅替代的等价条件：设弦AD、BC的中点分别为O1、O2，则，故，据此得于是，所给问题便转化为弦长与弦中点问题。　　略解：椭圆C1的中心点P分所成的比λ=2。　　（1）点P的轨迹C2的方程为（过程略）　　（2）设直线l的方程为①　①代入椭圆C1的

5、方程得　，故有　　故弦AD中点O1坐标为　　②　　①代入椭圆C2的方程得，　又有故弦BC中点O2坐标为③　　∴由②、③得④　　注意到　　　⑤　　于是将②、③、④代入⑤并化简得：　由此解得。　　因此，所求直线l的方程为　　2．化繁为简金星国际教育集团版权所有@金星教学考试金星教学考试网www.jxjxks.com　　解析几何是用代数计算的方法解决几何问题，因此，解答解析几何问题，人们都有这样的共同感受：解题方向或途径明朗，但目标难以靠近或达到。解题时，理论上合理的思路设计能否在实践中得以实现？既能想到，又

6、能做到的关键，往往在于能否化繁为简。化繁为简的策略，除去“化生为熟”之外，重要的当数“借重投影”或“避重就轻”。　　（1）借助投影　　对于线段的定比分点以及其它复杂的线段间关系的问题，当题设条件的直接转化颇为繁杂时，不妨运用当初推导定比分点坐标公式的基本方法；将线段上有关各点向x轴（或y轴或其它水平直线）作以投影，进而利用平行线分线段成比例定理推理或转化，这一手法往往能够有效地化解难点，将人们引入熟悉的解题情境。　　例3．如图，自点M（1，-1）引直线l交抛物线于P1、P2两点，在线段P1、P2上取一点

7、Q，使、、的倒数依次成等差数列，求点Q的轨迹方程。　　解：设　又设直线l的方程为①　　①代入得　　由题意得或　②　　且③　　又由题意得④　　作P1、Q、P2在直线y=-1上的投影P1′、Q′、P2′（如图）又令直线l的倾斜角为则由得∴　　同理，　　　　∴将上述三式代入④得　⑤　　∴将③代入⑤得　∴　⑥　　∴将⑥代入①得　　⑦　　于是由⑥、⑦消去参数k得　　⑧　　再注意到②式，由⑥得或⑨　　因此，由⑧、⑨得所求点Q的轨迹方程为　　　（2）避重就轻　　事物都是一分为二的，复杂问题中有关事物之间你中有我、我中

8、有你的局面，在给我们解题制造麻烦的同时，也会为我们侧面迂回、避重就轻带来机会。金星国际教育集团版权所有@金星教学考试金星教学考试网www.jxjxks.com例4．已知点P、Q在椭圆上，椭圆中心为O，且，求椭圆中心O到弦PQ的距离。　　分析：这里需要P、Q点坐标，对此，如果直面直线PQ方程和椭圆方程联立方程组，则不论是求解P、Q坐标，还是利用所设P、Q坐标，都不免招致复杂局面。于是转而考虑侧面迂回，避重就轻，同时，注意到P、Q两点的双重属性