直线与圆锥曲线问题的解题策略教师卷(二)

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1、直线与圆锥曲线问题的解题策略（二）对于交点坐标的适当处理直线与圆锥Illi线相交的问题，适当处置交点坐标是解题繁简乃至解题成败的关键环节。循着教材屮关于曲线交点的定位，直线与圆锥1111线的交点坐标，首先是立足于“解”，其次是辅助于“设S于是，在宏观上围绕着“解”与“设”的选择，产生出两对解题思、路：解而不设与设而不解；既设又解为不解。在这里，“设”是举手Z劳，问题在于，在一个具体问题中，“解”的火候如何把握？“不解叩勺时机如何捕捉？以下继续作以探索。一、求解交点坐标的“度”的把握个体与整体是辩证的统

2、一，循着“个体”与“整体”的辩证关系，立足于“解”交点坐标，主要是以下两种选择：1、半心半意，解至中途从认识冃标切入，如果冃标不是交点的横坐标或纵坐标的个体，而是关于交点横坐标（或纵坐标）的和与积的对称式，则一•般选择从直线方程与Illi线方程的联立方程组入手，解至屮途运用韦达定理，进而对目标进行转化、靠拢，直至利用上述结果解决问题。例1•设斜率为2的宜线与抛物线相交于A、B两点，以线段AB为边作矩形ABCD,使

3、2"©

4、=2:1,求矩形ABCD的对角线交点M的轨迹方程。解：设心6HC2以啟5・直线a

5、b的方程为尸女"17A=16(b4-p1-l6fbJ-l0>O<=>b>-—由题意2由韦达定理得哙耳再设AB中点为，则有注意到四边形ABCD为矩形，故有MFJ.Q,且2rh此得=^T2b+l7(5)4由（4）得»I1-—J-4x-8y+7⑥代入(5)得4化简少沢寸"由（5）得1^±3=^^17>0再注意到①中因此由⑦.⑧得所求动点M的轨迹方程为卜2・-乂-伽・-0点评：本例是“立足于-•条直线与曲线相交”的问题。这里所说的“立足于一•条直线与iiii线相交”的问题，是指这样两种题型：（1）问题由一直线

6、与曲线相交引出；（2）问题屮虽然出现多条肓线与同一曲线相交，但这些血线的引出存在着明显的顺序（或依赖关系），整个问题构建在某一条直线与曲线和交的基础之上，対此，我们的求解仍倚仗于对交点坐标“既设乂解”的策略。这里的“解”，是解直线方程与Illi线方程所联立的方程纟H.,是“半心半意”地求解，解至屮途运用韦达定理，因此，此类问题的解题三部曲为（1）全心全意地设出交点坐标；（2）“半心半意”地求解上述方程组，解至中途运用韦达定理;（3）对题设条件主体进行分析、转化，使之靠拢并应用（2）的结果导出既定目标。

7、2、真心实意，求解到底当冃标的转化结果不是交点横标（或纵标）的对称式，而是交点坐标的个体时，则需要真心实意地将求解交点坐标进行到底。例2•正方形ABCD的中心为M（3,0）,一条顶点在原点，焦点在X轴正半轴上的抛物线E,1—•条斜率为亍的直线1,若A、B两点在抛物线E上，而C、D两点在岂线1上，求抛物线E和直线I的方程。解：由题意设抛物线e的方程为da®肓线1的力程为又设正方形ABCD的（一条）对角线的斜率为k,则山191145"•••直线AM、現p■-—Qr—耳BM的方程分别为2再设2则由％■亍得七

8、■—*①又点A、B在抛物线El：,故有4（斗■卯・2朋②于是由①、②、③解得p・—故得A（4,2）、B（1,1）、2因此可知，所求抛物线E的方程为卢所求直线1方程为Kf“o点评：上述问题中出现“相对独立的多条直线与同一曲线相交”，即问题中多条直线的出现没有确定的顺序或依赖关系，各条直线之间具有相对独立性。对此，我们仍然运用对交点坐标“既设乂解”的策略，不过，这里的“解”不是解直线方程与曲线方程所联立的方程组，而是解关于所设交点坐标的等式所联立的方程组；这里的“解”不是“半心半意”地解至小途运用韦达定理

9、，而是全心全意地去解出交点朋标，因此，此类问题的解题三部曲为：（1）全心全意地设出交点坐标；（2）全心全意地求解所设交点坐标满足的方程所联立的方程组，解出所设交点坐标;（3）利用（2）的结果追求既定目标。二、求解交点坐标的转换与回避解决直线与鬪锥曲线相交问题招致复杂局面或陷入绝境，究其原因，人多是求解直线与圆锥曲线所联立方程组惹的祸。因此，面对所给问题，当能预见到求解上述方程组的繁难程度时，能转换正血求解（交点处标）便尽量转换，能回避正血求解（交点处标）便尽量回避。1、设而不解这里所谓的“设而不解”，

10、是指设岀交点坐标之示，借助已知方程，运用交点坐标去表示己知条件或主要目标。其中，用所设交点处标去构造有关直线的斜率最为多见。例1・设椭圆彳只4■屮■“的上半部冇不同三点a、B、C,它们到同一焦点的距离依次成等差数列，且点B的纵坐标与椭圆的半焦距相等，求线段AC的屮垂线在y轴上的截距。分析：考察线段AC的中垂线方程，易知其斜率山点A、C同名处标的差式表出，弦中点由点A、C同名坐标的和式表出。由此想到对交点坐标“设而不解”，并借助焦点半径公式求解。解：设也小