探索型问题的解法探究-人教版[原创]

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1、探索型问题的解法探究四川省德阳市第五中学(618000)董大禄近年来，高考数学试题逐渐加大了对开放性探索型问题的考查力度。由于这类问题能很好地考查和区分学生的创新意识，探索能力和实践能力。因而这将继续成为高考试题的一种热点题型。本文对高考数学试题中出现的探索型问题探求其解法，以揭示这类问题求解的一般规律。一、由因探果型：求解这类问题的一般方法是：直接利用题设条件、顺推分析、探求其结果。例1、(2001年上海春招题)若记号*表示求两个实数a和b的算术平均数的运算，即2则两边均含有符号和“+”，且对于任意的3个实数

2、a、b、c都能成立的一个等式可以是o分析：①由于a*b=b*a,所以(a*b)+c=(b*a)+c②由凹+出二叱+b，即得：(a*b)+(b*c)=(a*c)+b222③由于(a+b)*c=c*(a+b)=a*(b+c)=b*(a+c)=：可选前面①②③中的任意一个等式即可。例2、(1999年上海高考题)若四面体各棱长是1或2,且该四面体不是止四面体，则其体积为(只需写一个可能值)分析：由于四面体不是正四面体，所以其棱长分別为1和2,其次，各棱必须构成三角形，才能构成四面体，所以在同一个面内不能出现两条棱长为1

3、,一条棱长为2的情形。这样，满足本题条件的四面体共有三种（即长为1的棱分别是一条、两条、三条）害'按要求只填一种即可。二、执果索因型求解这类问题的一般方法是：执果索因，将题设和结论视为已知条件，倒推分析。导出所需的条件。例3、（1998年全国高考题）如图4,在直四棱柱ABCD—AiBiCQi屮,当底面ABCD满足条件时，有AQ丄（注：填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有情形）分析：市于BD〃B]D],要使A]C丄BQ】只需AiC丄BDo又由于A©在底面ABCD±的射影是AC,所以只需要AC丄BD即可。另外

4、，本题填ABCD是正方形或ABCD为菱形也是正确的。例4、设c、d、x为实数，cHO,x为未知数，讨论方程log（CX+l）x=—1在什么情形下有解？有解时，求出它的解（1984年全国高考题）x>0分析：原方程v=>cx+—>0<%cx+—^1XJx=(cx+—)_1Xrx>0<=>JxHlx(cx+—)=1XrX>0rX>0<<<=>xHl<=>xHl2X=-d因此，当巳＞0•且—Hl吋，原方程有解，CC其解是：X=戶。三、归纳猜想型求解这类问题的一般方法是：根据题设条件，探索，归纳，猜想出结论，然后对猜想

5、结论进行证明。例5：（1994年全国高考题）使laj是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比屮项，求数列丨an

6、的通项公式，并加以证明。分析：由已知条件可得宁=顾若n=l时，吐空=信7，而Si=ai,可得：ai=2当11=2时,而s2=ai+a2=2+a2，可得:a2=6当n=3时，"、+2=,而S3=ai+a2+a3=8+玄3,可得:a3=10猜想：an=4n—2然后用数学归纳法证明猜想Z正确性。例6（2001年北京春招高考题）在1和2之间插入n个正数a

7、i,a?,…，an,使这n+2个数成等比数列，又在1与2之间插入n个正数bi，b2,…，an,使这n+2个数成等差数列。记An=aia2a”Bn=b!+b2+…+bnVl＞求数列A.与Bn的通项；＜2＞当n27时，比较An与Bn的大小，并证明你的结论。分析：＜1＞解法略An=22Bn=

8、n＜2＞由于AnMnB作討2,所以，当心7时，要比较An与Bn的大小，只需比较A』与B』的大小，即比较2"与n孕4大小即可。当n=7时2n=12892441-n=——44有2n>-n24当n=8时2n=256-n2=1444有2

9、n>-n24当n=9时2n=51292729-n=——44有2n>-n24猜想:2n>^n24(n^7)然后用数学归纳法证明猜想Z正确性。四、是否存在型求解这类问题的一般方法是：先假设结论成立或者存在，进行演算推理，若推岀矛盾，即否定先前假设；若推出合理的结果，则说明假设正确。例7(1989年全国高考题)是否存在这样的常数a、b、c使得等式：1X22+2X32+-+n(n+l)2=-^y^(an2+bn+c)对一切正整数n都成立？并证明你的结论。分析：假设存在a、b、c,使得题设等式成立。这时分别令n=l、2、

10、3得:厂4=*(a+b+c)V22=*(4a+2b+c)J70=9a+3b+c解这个方程组可得到:a=3,b=ll,c=10,进而用数学归纳法证明它们使已知等式对一切止整数都成立。例8、(1995年全国高考题)设｛a“｝是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和。⑴证明:lg»+lg片+22(2)是否存在常数c>0,使得：1“一成立？并证明你的结论。对(1)的证明省略，下面只对(2)进行