信号、系统与数字信号处理 第2章 连续时间信号与系统的频域分析

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1、第二章连续时间信号与系统的频域分析励信号的响应，基本方法是将信号分解为多个基本信号LTI系统分析的一个基本任务，是求解系统对任意激实现（因果）性等在工作中经常会遇到实际问题。频域分析还可以方便的讨论系统的频响、失真、物理可性就可以得到任意信号的响应。除了求解系统的响应外，正弦信号的响应，利用LTI系统的叠加、比例与时不变可以由不同频率的正弦函数表示。如果已知LTI系统对元。频域分析是将正弦函数作为基本信号元，任意信号§2.1周期信号的傅里叶级数分析三角函数集是最重要的基本正交函数集，正、余弦函数

2、都属是三角函数集。它具有以下优点(1)三角函数是基本函数；(2)用三角函数表示信号，建立了时间与频率两个基本物理量之间的联系；(3)单频三角函数是简谐信号，简谐信号容易产生、传输、处理；(4)三角函数信号通过线性时不变系统后，仍为同频三角函数信号，仅幅度和相位有变化，计算方便由于三角函数的上述优点，周期信号通常被表示（分解）为无穷多个正弦信号之和。利用欧拉公式还可以将三角函数表示为复指数函数，所以周期函数还可以展开成无穷多个复指数函数的之和，其优点与三角函数级数相同。用这两种基本函表示的级数，分

3、别称三角形式傅里叶级数及指数形式傅里叶级数。它们是傅里叶级数中两种不同的表达形式，都简称傅氏级数。本节利用傅氏级数表示信号的方法，研究周期信号的频域特性，建立信号频谱的概念。一、三角形式傅里叶级数周期信号是周而复始，无始无终的信号。表示式为是信号的基波频率。其中是信号的最小重复时间间隔，其倒数若式的傅里叶级数，表示式为满足狄里赫利条件，则可以展开为三角形式中是基波角频率，有时也简称基波频率。利用三角函数的边角关系，我们还可以将一般三角形式化为标准三角形式两种三角形式系数的关系为(2.1-4)式说

4、明，任何满足狄里赫利条件的周期信号都可为基波初相位，…，是以分解为直流及其许多余弦分量之和。这些分量的频率的整数倍，通常称为基频或基波频率；为二次谐波频率，为三次谐波频率，…，为次谐波频率，…；相应的为直流幅度，为基波振幅，为二次谐波振幅，…，为次谐波振幅；周期信号被分解为直流分量、基波分量以及各次谐波为次谐波初相位。由上式可见号的波形。分量。各频率分量的振幅大小、相位的变化取决于信我们可以通过示波器观察信号的波形，也可以用频谱分、是频率的函数，它们从频率的角度反映了信号的特性。能从频率角度反映

5、信号特性的函数，称为信号的频谱。信号的波形与频谱是同样是客观存在的，通过时域的波形，更容易理解耳朵的听觉过程。析仪观察或度量信号的频谱。事实上，通过频谱而不是傅里叶级数准确地反映了周期信号分解的结果，但直观大小。为自变量、，描述之间关系的图形。它一般由两部分组成：一是振幅图，是的线图，每条线的长度代表该频率振幅大小；二是相位图，是的线图，用来描述～关系，每条线长代表该频率相位率及相位特性。周期信号的频谱图是以频率位随频率变化的情况，人们借助频谱图来描述信号的频简单、直观地表示信号所包含主要频率分

6、量的振幅、相性差，要将各次谐波分量叠加起来更是费时费力。为了例2.1-1已知周期信号如下，画出其频谱图。解：将整理为标准形式振幅谱与相位谱如图2-1所示。(b)相位图(a)振幅图图2.1-2例2.1-2的频谱图021/2110二、指数形式的傅里叶级数利用欧拉公式将三角形式的傅里叶级数，表示为复指数形式的傅氏级数其中系数是复常数，通常简写为。还可以将表示成模和幅角的形式次谐波分量的振幅和相位。三角函数标准形式中是第次谐波分量的振幅，但在指数形式中，要与相对应的第项合并，构成第指数形式与三角形形式系

7、数之间的关系由于复指数引入了不过，指数形式的频谱是双边谱，使得我们的谐波引入了负频率。实际负频率是不存在的。这只是将第项谐波分量的三角形式写成两个复指数形式后出现的一种数学表示。同样，为了简单、直观地表示信号所包含的主要频率分量随频率变化的情况，我们可以画出指数形式的频谱图。是奇对称的。是偶对称的，例2-1的指数形式频谱如图2-2所示。0011/21/411/21/41(b)相位图图2-2例2-1的频谱图(a)振幅图-T例2-2周期矩形脉冲的波形如图2-3所示,求周期矩形脉冲频谱。TE0……解其

8、中：将展开指数形式傅里叶级数，由式(2.1-7b)式中(2.1-10)(2.1-11)的零点为使的的零点，由此解出，…，是虽然是实数，但通过零点后有正、负的变化，使得相应的，当也有正、负变化。时相位为0；当时相位为。所以其三角形式的傅里叶级数，由式(2.1-9)可得(2.1-14)特别设，代入式(2.1-14)，，其零点为，即…。、，的三角形式与指数的振幅、相位谱如图2-4所示。因为周期矩形信号频谱的相位只有0、的幅度就是正、负的变化。所以可将其幅度与相位谱画两种情况，对应在一起，即画复振幅频谱