信号与系统第4章连续信号的频域分析

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1、第4章连续信号的频域分析信号和系统时域分析方法的基本思想是将任意的输入信号分解为单位冲激信号的叠加。对LTI系统，只要知道了其单位冲激响应，即可通过卷积积分求出任意输入信号作用下系统的零状态响应。信号的分解并不是唯一的。例如，信号还可以分解为一系列正交函数的线性组合。14.1周期信号的傅里叶级数所有具有各自不同频率的正弦函数sinnΩt（n=1，2，…）和余弦函数cosnΩt（n=0，1，2，…）在时间区间（t0，t0+2π/Ω）范围内构成一个完备的正交函数集。同样，所有虚指数函数ejnΩt（n=±0，±1，±2，…）在

2、此时间范围内也构成一个正交函数集。傅里叶提出，一个周期信号可以用以上两种正交函数集中相互正交的若干函数的线性组合来表示。或者说，可以将周期信号分解为这些正交函数的加权和。2图4.1.1周期信号的分解和合成34.1.1三角形式的傅里叶级数用周期函数表示的连续时间周期信号f（t），如果满足狄里赫利条件，则可表示为傅里叶级数展开式的形式，即式中，Ω=2π/T称为该周期信号的基波角频率，单位为rad/s；T为其周期，单位为s。An（n≥0）和φn（n>0）的计算公式为45图4.1.3周期矩形脉冲信号的分解和合成64.1.2指数形

3、式的傅里叶级数根据欧拉公式，可以将式（4.1.1）所示三角形式的傅里叶级数展开式改写为74.2.1频谱的概念通过傅里叶级数可以将时域中的周期信号分解为直流分量、基波分量和各次谐波分量之和，傅里叶级数展开式中的An，φn或傅里叶系数Fn分别代表了各分量的幅度和相位随谐波次数n（角频率nΩ）的变化关系，称为周期信号的频谱，其中An或

4、Fn

5、称为幅度谱，φn称为相位谱。4.2周期信号的频谱84.2.2周期信号频谱的特点观察前面的周期矩形脉冲信号和全波整流余弦信号的频谱，可以发现其中有些共同的特点。实际上，所有周期信号的频谱都具

6、有如下特点：①离散性。周期信号的频谱An，φn或Fn都以整数变量n为自变量，频谱图由离散的谱线和点构成，这样的频谱称为离散谱。所有周期信号的频谱都为离散谱。②谐波性。周期信号的频谱中自变量n的取值对应各分量的频率，n只能取整数，因此各分量的频率只能为原周期信号基波频率的整数倍。9③收敛性。理论上说周期信号中包含无穷多个谐波分量，各谐波分量的幅度（即幅度谱）虽然不一定随n的增大而单调减小，但总的趋势都是按照一定规律衰减的。当n→∞时，

7、Fn

8、→0，这体现了周期信号频谱的收敛性。104.3.1非周期信号的傅里叶变换非周期信号

9、的时间函数表达式为非周期函数，因此不能进行傅里叶级数展开。但是，可以将非周期信号视为周期T→∞的周期信号，从而得到类似的分解表达式。周期信号的傅里叶系数为4.3非周期信号的频谱密度11当T→∞时，周期信号f（t）变为非周期信号。此时，基波角频率Ω=2π/T趋向于无穷小，记为dω，而nΩ趋向于连续变量，记为ω。另外取t0=-T/2，则由上式得到124.3.2非周期信号的频谱密度通过傅里叶变换可以将信号分解为不同频率的复简谐信号的叠加，而信号的傅里叶变换F（jω）反映了信号中各分量的幅度和相位随其频率ω的变化关系，称为信号的

10、频谱密度，又称为频谱密度函数或频谱函数。与周期信号的频谱Fn相同，F（jω）也是信号在频域中的一种描述方法，所以也称为信号的频域表达式。134.3.3典型信号的频谱密度这里根据上述傅里叶变换的定义首先求取几个满足绝对可积条件的非周期信号的频谱密度。1415前面介绍了信号的频谱密度，并通过傅里叶变换建立了信号的时域和频域描述之间的对应关系。在信号分析时，经常需要对信号进行某种运算。在时域中对信号进行运算和变换后得到新的信号，在频域中其频谱密度有何变化？与原信号的频谱密度之间又有何关系？反过来，如果信号的频谱密度发生了变化，

11、其在时间波形或时间函数表达式上又有何变化？研究这些问题当然可以通过傅里叶变化的定义进行，但是计算过程比较复杂。4.4傅里叶变换的性质164.4.1线性性质174.4.2时移性质时移性质说明，信号在时域中沿着时间轴的平移，只是使信号的频谱密度在相位谱密度上有附加的相移-ωt0，而幅度谱密度不会发生变化。184.4.3尺度变换性质194.4.4对称性质若f（t）F（jω），则204.4.5频移性质频移性质说明，在时域中将一个信号乘以频率为ω0的复简谐信号，则其频谱密度的形状不变，只是沿频率轴向右平移ω0。利用欧拉公式和傅里

12、叶变换的线性性质，还可得到频移性质的另外两种描述，即214.4.6卷积性质图4.4.6224.4.7时域微积分性质式（4.4.10）称为时域微分性质，式（4.4.11）称为时域积分性质。若f（t）的波形上下两部分面积相等，则F（j0）=0，时域积分性质从而可简化为234.4.8频域微积分性质242526前面通过将周期